n×mのタイルで最小の正方形を作る

質問

少し前の質問で疑問に思ったことがあるのですが、

１　n×mのタイルを複数枚使って最小の正方形を作るとき、正方形の１辺の長さはn,mの最小公倍数である。（n,mは自然数）

２　n×m×kのブロックを複数個使って最小の立方形を作るとき、立方形の１辺の長さはn,m,kの最小公倍数である。（n,m,kは自然数）

という命題は真でしょうか？
もし真ならその証明は簡単でしょうか？

回答No.8

momordica · ベストアンサー

＃6です。
先の回答ではちょっと変なことを書きました。
>　16x+6y=24　(x, yは自然数）
ここ、自然数じゃなくて非負整数ですね。証明になってませんでした。

一応、正方形の方だけ考えてみました。泥臭いですが。

縦横の辺の長さがそれぞれmとnの長方形を敷き詰めて一辺の長さが
mとｎの最小公倍数より短いkである正方形ができたとします。
長方形は縦がmで横がnのものか、縦がnで横がmのものか、どちらか
なので、前者を青、後者を赤で塗ることにします。

なお、mとnは互いに素な自然数とします。
もし、mとnが1以外の公約数pをもつなら、縦横の辺の長さをそれぞれ
1/pにした長方形を同じように並べれば辺の長さがもとの1/pの正方形
ができるので、そちらで考えても同じだからです。

この一辺kの正方形を、縦に細切りにして、縦k、横1のk個の長方形に
分割します。
するとそれぞれの長方形において、青く塗られている部分の縦の長さは
mの倍数、赤く塗られている部分の長さの合計はnの倍数になります。

ところが、kがmとnの最小公倍数mnより小さい自然数だとすると、
　mx+ny=k
を満たす非負整数(x, y)の組は高々1組しかありません。

したがって、このk×1の長方形は、そのうちmxの面積が青で、nyが赤で
塗られていることになります。
ｋ個の長方形がすべてそうなっているはずなので、全体として
面積k^2のうち kmxが青、knyが赤ということになります。

ここで逆に、正方形を縦1、横kの長方形に分割して同様の考察をすると、
さっきとは逆に面積k^2のうち knyが青、kmxが赤という結果になります。

これらは同じ面積を表しているはずなので、
　kmx=kny
　∴　mx=ny=k/2

ということで、k/2はmとnの公倍数ということになってしまうのですが、
これはkが公倍数より小さいという仮定に矛盾します。
したがって、この長方形を並べて、一辺の長さが縦と横の最小公倍数より
小さい正方形を作ることは不可能です。

立方体の方は…これじゃ無理ですね。
#7さんの書き方見ると、もっと簡単に言えるものなんでしょうか。

お礼

mとnが互いに素として考えれば、確かに最小公倍数の正方形が最小になりますね。

よく分かりました。ありがとうございます。

立方体の場合はどうなんでしょう。難しいです。

回答No.9

SortaNerd_

たぶん証明できました。

・どこかに図(1)の状態は必ず存在する。
・ここに存在する赤線の長さを埋めなければいけない。
・この次に1個置く時、(2)のaとbが考えられる。
・(2)aでは赤線の長さがなお存在するので状況は進展していない。よって(2)bのみを考えればよい。
・次も同様に(3)bのみを考えればよい。
・同様に続けると、一旦長辺と短辺が接したなら最小公倍数の長さまで続く。
・よって正方形の一辺の長さは長辺と短辺の最小公倍数以上である。

※ここでマル数字が書けないことに図を作ってから気づきました。「(1)」などは図のマル1などの事です。

お礼

回答ありがとうございます。

図を使っても正方形の場合の命題が成立することが説明できますね。

では、立方体の場合ではどうでしょうか。

回答No.7

alice_44

24 を 6 と 16 の和であらわす方法は、
24 = 6 + 6 + 6 + 6 しかない。
よって、正方形の辺上には、
タイルの 16 の辺が現れることはできない。
四隅に置くタイルのことを考えれば、
それでは正方形は作れないことが解る。

正方形の辺が最小公倍数になる理由も、
同様に、辺の分割から説明できる。

お礼

回答ありがとうございます。

例題が安易すぎましたが、なんとなく分かってきました。

ただ、立方体の場合はどうなんでしょう。
縦横高さの３つの数があると辺の分割が一意には決まらないような気がします。

回答No.6

momordica

長方形や直方体を縦横の向きを変えて混ぜて並べても一辺が最小公倍数
より短い正方形や立方体を作るのは無理なのかってことですよね。

> 24×24の正方形を作るのは不可能だという証明は簡単なのでしょうか？

まあ、これに限って言うなら、簡単ですよね。
正方形のある辺の所に並んでいる長方形で、横向き(16)、縦向き(6)のものが
それぞれx個、y個だったとすると、
　16x+6y=24　(x, yは自然数）
これを解くと、
　(x, y)=(3k, 4-8k)　(kは整数)
ここで、
　x≧1となるとき　k≧1,　　　y≧1となるとき　k≦0
よって、ともに自然数となるx, yの組は存在しません。
まあ、こんなことしなくても16の横にもう1つか2つくっつけて24にするのが
無理なのはやってみればすぐに分かりますけど。

一般のn×mのタイルについての話はもうちょっと考えてみます。

お礼

回答ありがとうございます。

失礼しました。
24×24は例のミスでした。
確かに、24-16=8で8を埋める方法がないので不可能ですね。

＃３さんの回答で、
「最小公倍数というのは、辺の長さで最小公倍数をもとめることで、最小の正方形の一辺の長さというのをもとめることができる」
というのがありましたが、これが言えれば質問そのものの解答ですから、
もしこの証明方法を知っていたら教えてください。

回答No.5

noname#139112

証明の要素としては、24×24の正方形をつくるタイルの縦と横の長さをそれぞれNとMとするとき、NとMの組み合わせは何通りあるか。（NとMは自然数）
という設問を考えるつもりで証明をといてみてはいかがでしょうか。
24の約数＝8個　この中から2つを選び出し、縦と横にあてはめる
よって場合の数は8P2で56通り。さらに、同じ数をこのなかからえらんでもいいので、8通りを加えて64通り。つまり、24×24の正方形をつくるには、64とおり方法があるとわかります。
これで、納得のいく証明のつくれるはずです。

お礼

回答ありがとうございます。

24×24の正方形をつくるのに64通りあるのは分かりますが、疑問点は、64通りしかないのかということです。

＃３のお礼でも書きましたが、
２個の数の最小公倍数＝最小の正方形の一辺の長さ
ということであれば納得です。
というより、それそのものが質問だったんですが。
その証明方法があれば教えてほしいです。

これば、３個の数の場合でも言えることなんでしょうか。
３個の数の最小公倍数＝最小の立方体の一辺の長さ
これもどんな証明方法があるんでしょうか。

回答No.4

yaemon_2006

>24×24の正方形を作るのは不可能だという証明は簡単なのでしょうか？

　24 / 16 = 1.5

タイルを割ってもいいのなら可能だけど、、、

お礼

回答ありがとうございます。

＞24 / 16 = 1.5
＞タイルを割ってもいいのなら可能だけど、、、

そうですね。例が悪かったです。
24－16＝8で8の部分を埋めることができませんから。

ただ、全部縦に並べるとか、全部横に並べるとかではなく、縦横をうまく組み合わせればなんとかなる場合もあるのではないかと思ったものですから。

立方体の場合で考えると、
n=8,m=3,k=2
の場合、最小公倍数は24
でも、一辺12の立方体ができないのか？
8＋2＋2＝12
なので、8の長さがあっても可能ですよね。

回答No.3

noname#139112

その面積で割るという考え方が間違えです。最小公倍数というのは、辺の長さで最小公倍数をもとめることで、最小の正方形の一辺の長さというのをもとめることができました。つまり、最小という条件を抜かして考えると、最小の正方形の一辺の長さは、それを構成するタイルのたてとよこの長さの公倍数というふうになります。もし、面積でわれるから、最小の正方形がつくれるというのは間違えです。なぜなら、お礼にかいてくださったように、面積が96であるタイルというのは、16×6以外にも、12×8などあり、タイルの大きさが限定できないからです。
ここでは、面積でわるのではなく、正方形の一辺の長さ÷タイルの横もしくは縦の長さ　で検証しましょう。

お礼

＞最小公倍数というのは、辺の長さで最小公倍数をもとめることで、最小の正方形の一辺の長さというのをもとめることができました。

最小公倍数とは、共通の倍数の中で最小の数と理解していましたが、そういう定理かなにかがあるのでしょうか？

回答No.2

noname#139112

ｎとｍが自然数という条件であれば、１も２もあてはまります。
では、No1さんが例を挙げたように、n=3 m=6でやってみるとすると、最小の正方形ができるには、
３と６の最小公倍数である６が、できた正方形の一辺の長さになっています。
また、この設問の追加として、何枚のタイルが必要になったかという質問を出されたら、1×2で2枚ですよね？
このように考えて、2番も考えると、最終的には最小公倍数になっています。100パーセント。
この原理は、最小公倍数が名前にもあるとおり、最小の公倍数であるので、たて、よこ、高さの3つの数値が、それぞれ何倍かされて、同じ数値になる（最小）というのは最小公倍数と同じ意味ですよね？

お礼

回答ありがとうございます。

正方形の一辺の長さがnとmの最小公倍数なら正方形ができるのは分かりますが、問題はそれが最小かどうかです。

例えば、
n=16、m=6
のとき、最小公倍数は48

しかし、正方形の一辺を24とすれば、
正方形の面積24*24はタイルの面積16*6=96で割り切れます。

24×24の正方形を作るのは不可能だという証明は簡単なのでしょうか？

回答No.1

diondaisuki32

単に[n,mが自然数]という条件だけでは、どちらも真ではありません。
（n,m,kがそれぞれが素の自然数ならあるいは・・・）

例えば、n=3,m=6ならどうでしょう？
（１）は真ではないことは分かりますよね？
（最小公倍数は３なのに、出来る正方形の辺の長さは６になる。）

同様に、n=4,m=8,k=12なら最小公倍数は4だけど・・・

お礼

回答ありがとうございます。

勘違いされてるようですが、最大公約数ではなく最小公倍数ですので。