x^n+y^n=1が示す面積と積分

質問

この関数はｎが偶数のときは２のときの円以外でも閉鎖的な図形に対応していますが、ｎが無限大になると正方形と区別がつかなくなると思います。このような場合、この関数の積分で面積を算出することは簡単なのでしょうか。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

簡単のため４分円で議論します。つまり第一象限だけ見るわけです。そうするとnは偶数である必要はないし、さらに自然数である必要もありません。他の象限でも議論したいときは絶対値をつけて
|x|^n+|y|^n=1
としておけば、任意の正数nに対して、議論できます。またすでにご存知のとおり、n=1ならひし形（45度回転させた正方形)、n=2なら円、とくにn>1のときは外側に膨らんだ図形、n<1なら内側に膨らんだ図形になります。この第一象限の面積S(n)は、次の公式で与えられます。
S(n)=Γ(1+1/n)Γ(1/n)/{2Γ(2/n)}
ただしΓ(・)は階乗の一般化であるガンマ関数です。web等でもいくらでも参考ページは見つかると思います。面積の導出は積分を実行するだけですが、多少大学初年級の微積分は必要でしょう。それほど難しくはないですが。さて、ここでn→∞と極限を取ってやると、S(n)→1となります。すなわち正方形の面積になるわけですね。ちなみにn=2とすれば、Γ(1/2)=√π、Γ(3/2)={√π}/2、Γ(1)=1を使えば、S(2)=π/4となって、確かに４分円の面積になってますよね。

お礼

私には少し難しすぎますが、勉強させていただきます。ありがとうございました。円も一部になるところは感激です！

回答No.1

yasegarasu

上式をYについて解くと、Y=(1-X^n)^(1/n) (1≧x,y≧0 にて)。
lim(n->∞) ならば、Y=1 at 0≦X<1, Y=0 at X=1 との定数ですね。

お礼

正方形と円とがどこかつながっているように思えて質問させていただきました。御教示ありがとうございました。