※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：1次変換）
行列の基本変形と行列の逆変換について
このQ&Aのポイント
問題では、線形写像fが表す行列をAとし、ベクトルa1,a2,a3が1次独立ならば、行列Aを単位行列Eにすることができると述べられています。
つまり、正則な行列P,Qがあって、PAQ=Eとなります。これは行列の基本変形によって得られるものです。
また、gはfの逆変換を表しており、fを使わずに一次独立を証明している部分では、gを利用して等式を立てています。
R^3のベクトル
e1=t^(1,0,0),e2=t^(0,1,0), e3=t^(0,0,1)と線形写像f:R^3→R^3を考え、
ai=f(ei) (1≦i≦3)とおく。このとき、次の条件(1),(2)は互いに同値であることを示せ。
(1)ベクトルa1,a2,a3は1次独立である。
(2)fは逆変換g:R^3→R^3をもつ。
という問題で、問題集の解答は以下のようになっていました。
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この線形写像fが表す行列をAとする。ベクトルa1,a2,a3が1次独立ならば、rankA=3だから、適当な基本変形を行って、行列Aを単位行列Eにすることができる。つまり、正則な行列P,Qがあって、PAQ=Eとすることができる。すると、A=P^(-1)Q^(-1)=(QP)^(-1)だから、逆行列A^(-1)=QPが存在し、逆変換がある。
また、x(a1)+y(a2)+z(a3)=0とすると、
g(x(a1)+y(a2)+z(a3))=x(e1)+y(e2)+z(e3)=0
となるが、e1,e2,e3は一次独立だからx=y=z=0となり、したがってa1,a2,a3も1次独立である。
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ここで2点質問です。
>正則な行列P,Qがあって、PAQ=Eとすることができる。
とありますが、ここら辺の意味がわかりません。行列の基本変形によってPAQ=Eを導けるとはどういうことなのでしょうか？
>g(x(a1)+y(a2)+z(a3))=x(e1)+y(e2)+z(e3)=0
とありますが、gってどこからきたのでしょうか？
fを使わずに一次独立であることを証明しているところで頭が混乱しました。
補足
解答にはそう書かれていなかったので、著者の方が書くのを忘れたのかもしれません。