変極点

質問

こんばんわ。
いきなりなんですけど。

なぜ「２回微分したもの＝0」の結果が変極点の
ｘ座標になるのでしょうか。教えてください。。。

よろしくおねがいいたします。

回答No.4

ticky · ベストアンサー

＞「右に曲がる」と「左に曲がる」はどういうことですか？

具体的に、たとえば、
y＝x^3－4x＝x（x-2）（x+2）のグラフを描いてみます。
x＝－∞の点から、軌跡にそってたどっていくと、
初めのうちは、右へ右へとカーブしていき、途中から、左へ左へと曲がっていくようになります。

要するに「右に曲がる」は「上に凸」、「左に曲がる」は「下に凸」なんですけど、
ではなぜ、二回微分＝０となる点が変曲点になるのか。

先ほどのグラフに、いくつか接線を書き加えて、
再び、x＝－∞からたどっていくと、右に曲がる、つまり上に凸の部分では、接線の傾きが減っていって、このグラフでは傾きがマイナスになってしまう。
そして途中から、左に曲がる、下に凸の部分にはいると、今度は傾きが大きくなっていって、プラスに転じてふえていきます。

傾きのグラフを描いてみると、
この、傾きが減少していたのが増大に変わる境界（つまり、上に凸と下に凸の境界＝曲がり方が変わる点）で、傾きは極値です。この場合は、二次関数のグラフになりますからね。
そして、傾きの極値は、傾きをさらに微分したもの、つまり、元の関数の二回微分＝０となる点です。

私は、グラフの曲がり方が二回微分だと解釈しているので、右に曲がる、左に曲がると描きましたが、
上に凸、下に凸の方が分かりやすかったかもしれません。

お礼

めちゃ分かりやすく書いていただいて
ありがとうございます～～～。。。ペコリ(o_ _)ｏ))
すっごい理解できました。。。

回答No.3

eatern27

＞「右に曲がる」と「左に曲がる」はどういうことですか？

「右に曲がる」は「上に凸」

「左に曲がる」は「下に凸」

という意味ではないでしょうか?

お礼

なるほど。。。(￣ヘ￣)ウーン

回答No.2

ticky

こんばんは。こんな回答でよろしければ。

変曲点とは、右に曲がっていくか、左曲がっていくかのちょうど境の点ですよね。

右に曲がっていくか、左に曲がっていくかの違いは、
つまり、「（瞬間の）傾き」（＝一回微分）が減っていくか、増えていくかの違いです。
傾きが大きかったのが、小さくなっていけば、右に曲がります。

一回微分の値が減っていくか、増えていくかは、一回微分をさらに微分すればわかります。
この一回微分が減っていくか、増えていくかの境の点は、つまり、一回微分の極地。
すなわち、二回微分＝０となる点です。

では。

補足

「右に曲がる」と「左に曲がる」はどういうことですか？

たびたびすみません。

回答No.1

majoruma

微分を二回すると、グラフでいう傾きを表しますよね。
変極点では、その前と後で、傾きの符号が変わりますよね。
二回微分したもの＝０　ということは
その点の傾きが０　ということ。
すなわち、傾きの符号が変わる点になる、ということです。

お礼

ありがとうございます。
初めて投稿して、返事があるかどうか
ドキドキしてたんです。

回答のほうありがとうございました。
また質問したときはよろしくお願いいたします。