底が－の数字の指数関数は高校では扱わないのですか？

質問

よろしくお願いいたします。
対数関数での真数条件、底の条件を考えてみました。
真数は指数関数はすべてＹ軸よりプラスだからだな
底が1だと指数関数にならないから定義しないのだな
までフムフムと思っていたのですが
底の条件の底が0以上とところで、、－の底はなかったっけ？
と考えてしまいました。
数列などでは－の底の指数関数を目にします。なぜ、この場合－の底を定義しないと
なるのでしょうか？
ご教授ください

回答No.3

proto · ベストアンサー

底がa、真数がxの対数をlog[a](x)と書くと、
　　y = log[a](x)
は
　　a^y = x
と同値。

言い換えれば、
　　y = log[a](x)
を計算することは、
　　a^y = x
となるyを探すことと同じ。

ここでa^yという関数を考えると、この関数はa>0ならば-∞<y<∞で実数の値を取る。
もっと言えば-∞<y<∞で連続な1対1関数で、値域は(0,∞)となる。
だからx>0なるxを具体的に一つ指定すれば、a^yの連続性からa^y=xとなるようなyがどこかに存在するだろうと云うことが感覚的にもわかる。
そのようなyが存在することがわかれば、yをlog[a](x)と書くことにして、無事、log[a](x)という関数が定義できる。

底がマイナスの場合を考えるためには、同様の議論をa<0のときについてすることになる。
まずa^yという関数を考えると、この関数はa<0のとき、少なくともyが整数ならば実数の値を取るが、それ以外の場合には実数の値を取るとは限らない。
例えばa=-1,y=1/2のときには
　　a^y = (-1)^(1/2) = √(-1)
となってこのような数は実数の範囲では存在しない。
このようにa<0でa^yを考えると、この関数はyの値によって実数だったり実数では存在しなかったりするから、実関数としては連続関数ではない。
もちろんa^yを複素関数と見れば関数を定義することが出来るが、一般にa<0のときa^yは無限に多くの値を取る無限多価関数になる。

さて、結局a<0のときa^yという関数を実数の範囲だけで考えることは難しく、x>0なるxを具体的に与えられても、a^y=xとなるようなyが実数の範囲に存在するとは限らない。
このことはa^yが連続関数ではないことからも感覚的にわかると思う。
言い換えると、a<0のときx>0に対して、a^y=xなるyは普通は複素数だ。
a^y=xなるyをlog[a](x)と書くのだから、a<0のときlog[a](x)は普通は複素数になる。

このような議論から、対数関数log[a](x)を実数の範囲で考えている限り、aもxも正数でなければ話が出来ないと云うことになる。

もちろん実数だけでなくて複素数の範囲まで考えるのなら、z,w,aを複素数として複素対数関数
　　w = log[a](z)
を考えることは出来る。
この関数は複素指数関数
　　a^w = z
の逆関数として定義できて、そのときaは負の実数であっても構わない。
ただし、先ほども書いたように、そのような複素対数関数log[a](z)は、普通、一つのzに対して無限に多くの値を取る無限多価関数になる。

お礼

ご回答ありがとうございます。
実数でない部分がでる事をいま気づきました
とても助かりました、質問してよかったです。
ありがとうございました

回答No.2

info22

対数の定義が可能か、ということから
対数の底aの条件は
a>0 かつ a≠1
ということは高校のどの教科書にも書かれています。

対数の底を[a]で表すと
y=log[a]x　… (1)
これをxについて解くと
x=a^y … (2)
ですね。
この式でxとyを入れ替えた
y=a^x … (3)
は(1)の逆関数に当たりますが、
逆関数の条件が成り立っていなければ逆関数といえません。
●実数xの定義領域の全てのxについて(1)および(3)のyが定義されること。
●実数xの定義領域で(1)および(2)が一価関数であること。

この観点からa<0の場合を検証して見るといいでしょう。
(3)についてa=-5としてみると
y=(-5)^x={(-1)^x}(5^x)
(5^x)は実数xに対して定義されますが
(-1)^xは実数の範囲では、xが整数のときのみ定義され「+1または-1」
のいずれかの値をとります。
したがって、y=(-5)^xは実数の範囲で考えると
xが整数でない場合は定義できません。
このことから-5を負の実数a（<0）の時についても
実数の範囲で考える場合はxが整数以外では(3)が定義されないことが
容易に類推できるでしょう。

このことから
(1)を(3)の逆関数と仮定した場合、a<0に対して、xの定義域が実数領域で
まともに定義できません。(1)でyが整数の場合以外は定義できませんので
x=a^y　(yは整数のみ)
a<0では(1)がx=a^n(nは整数)の時のみしかyが存在せず、その他の実数xでは(1)のyが定義できません。

こういうことから
y=log[a]x
はa<0の場合は実数x(>0)に対して
a>0(a≠0)の場合のように連続関数として定義できません。
したがって(1)の底の条件として
a<0の範囲を除外している
のでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございます
実数の範囲を超えることをお蔭様で
今気づきました。
とても助かりました

回答No.1

KI401

http://okwave.jp/qa3810477.html?rel=innerHtml&p=bottom&l=1

参考URL：

http://okwave.jp/qa3810477.html?rel=innerHtml&p=bottom&l=1

お礼

ご回答ありがとうございました。
すでにあったんですね