対数関数です（基礎知識重視問題）

質問

対数関数について教えてください。

問
次の不等式の表す領域を答えよ。

　　　　　　　　　　logｘＹ≦logｙＸ

底の条件や真数条件で場合わけをしてみたのですが・・・
不正解で解答をみてみると、

底・・・０＜ｘ＜１またはｘ＞１
真数・・・０＜Ｙ＜１またはＹ＞１

だったのですが、なぜ真数条件というものは正の数なのに
解答では１を含めていないのですか？

問題の解答解説を含めて分かりやすく教えていただけたら
ありがたいです

おねがいします！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>底の条件や真数条件で場合わけをしてみたのですが・・・
>不正解で

質問者さんの解答が書いてないので、不正解かどうか判定できません。

>解答をみてみると、
>底・・・０＜ｘ＜１またはｘ＞１
>真数・・・０＜Ｙ＜１またはＹ＞１

この通りだと適切な解答と言えません。

>だったのですが、なぜ真数条件というものは正の数なのに
>解答では１を含めていないのですか？

解答が適切でないためこのような疑問点が出てくるのです。

左辺 log_x Y についての
　底の条件 ... 0<X<1 または X>1
　真数条件 ... Y>0
であり、かつ
右辺 log_y X についての
　底の条件 ... 0<Y<1 または Y>1
　真数条件 ... X>0
である。

左辺と右辺の底の条件と真数条件をまとめると
　Xについての条件　... 0<X<1 または X>1　…(★)
　Yについての条件　... 0<Y<1 または Y>1　…(★)

となり、X,Yとも1は含みません。

(★)のもと元の不等式の対数の底を底の変換公式を用いて、10（常用対数）に揃える。
底を省略して書くと
　logY/logX≦logX/logY
となります。
移項して
　logX/logY-logY/logX≧0
通分して
　((logX)^2-(logY)^2)/(logYlogX)≧0
　(logX+logY)(logX-logY)/(logYlogX)≧0

　log(XY)log(X/Y)/(logYlogX)≧0
これを満たす(X,Y)は(★)の条件のもとで不等式を満たすX,Yを求めれば良いですね。
(X,Y)の範囲を図示すると図の斜線部の領域(太い黒実線の境界線を含む)になります。

お礼

回答ありがとうございます^^

図解までつけていただき
丁寧にありがとうございます＊

確かにｘが底でＹが真数という限定は
おかしいですね；

わたしはまずlogｘＹ≦１/logｘＹに変換をしたうえで
条件を考えていました；

ほんとにありがとうございました＞＜

回答No.4

naniwacchi

#1です。

#2さんの回答で、理解されたとのことで。
あくまでも真数条件＋底の条件の結果であるところがポイントです。

#2さんへの補足の中で
＞まずはじめに条件どうこうの前に
＞勝手に底の変換で両辺をlogｘＹにそろえてしまっていました；

と書かれていましたが、底の変換をするにしても
log[y](x)＝ log[x](x)/log[x](y)
（[　]は底を表すとします）

と書いた時点で、y≠ 1（右辺の分母がゼロにならないように）としておかなければなりません。
底の条件に気がつかなかったとしても、ここで気づくかなとおもったのですが。
当然、底を yにそろえる場合も同様なので、x≠ 1も出てきますよね。

お礼

二度の回答ありがとうございます^^ノ

底変換をしたとしても分母に０がきてしまうことに
きがついていれば解ききることもできたのですね；；
ここで１をふくまないことにきがついて、
Ｙ＞１という条件がでるということですよね！

指摘してくださってありがとうございます♪

回答No.2

FT56F001

log_x(Y)が求められるためには
真数条件Y>0
底の条件0<x<1またはx>1

log_y(X)が求められるためには
真数条件X>0
底の条件0<y<1またはy>1

これらを合わせて，
{０＜ｘ＜１またはｘ＞１}かつ
{０＜Ｙ＜１またはＹ＞１}
という意味でしょう。

これらの条件下で，
log_x(Y)≦log_y(X)
logY/logX≦logX/logY
両辺に(logX)^2*(logY)^2を掛けて
(logY)^3*logX≦(logX)^3logy
logX*logY*{(logX)^2-(logY)^2}≧0
logX*logY*{logX-logY}{logX+logY}≧0
logX*logY*log(X/Y)*log(XY)≧0
log(a)とa-1は同符号なので，
(X-1)(Y-1)(X/Y-1)*(XY-1)≧0
Y>0なので
(X-1)(Y-1)(X-Y)*(XY-1)≧0
すなわち，X>0，Y>の領域を，X=1，Y=1，Y=Xの３本の直線と双曲線XY=1で区切って，
ひとつおきに塗り絵する。
ただし，双曲線上と直線Y=X上は含むが，直線X=1とY=1上，点(1,1)は除く。

お礼

回答ありがとうございます^^

そういうことだったんですね！
完全に理解できました(^^♪

まずはじめに条件どうこうの前に
勝手に底の変換で両辺をlogｘＹにそろえてしまっていました；

丁寧にありがとうございました＊

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
対数の底にも条件がありましたよね。
教科書を見直してみてください。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます^^

logｘＹにおいて
底の条件・・・０＜ｘかつｘ≠１
真数条件・・・０＜ｙ

ということくらいはしっています。
質問のことばが足りなかったみたいで誤解させてしまったようなのですが
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・
私がしりたいのは「なぜ、問題の解説において真数条件に１をふくめていないのか」です。
これは関数が０になってしまうからなのですか？
それともほかに理由が・・・？

問題の解説含めもういちど回答していただけたら幸いです。