指数関数と対数関数の交点

質問

ずっと気になっていたのでこの機会に質問させて下さい。
　底が1/2である指数関数y=(1/2)^xのグラフと、底が1/2である対数関数y=log(1/2)x（（　）内は底を表す）のグラフの交点の求め方を知りませんか？
　できれば高校数学の範囲でお願いします。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>底が1/2である指数関数y=(1/2)^xのグラフと、底が1/2である対数関数y=log(1/2)x（（　）内は底を表す）のグラフの交点の求め方 …

y=(1/2)^x = e^{x*LN(1/2)}　　　…(*)

y=log_(1/2)(x) → x = (1/2)^y = e^{y*LN(1/2)}
LN(x) = y*LN(1/2) → y = LN(x)/LN(1/2)　　　…(**)

と「自然対数 LN(　) 」の土俵にでもあげて、(*) と (**) の交点を。
　e^{x*LN(1/2)} - LN(x)/LN(1/2) = 0　　　…(***)
(***) には一発解法が無さそう。

Newton 流の逐次接近かな？
近似解 xo から改善解 xr を出す勘定、
e^{xo*LN(1/2)} - LN(xo)/LN(1/2) = r とでもすると、
　xr = xo - r/[LN(1/2)*e^{xo*LN(1/2)} - 1/{xo*LN(1/2)}]
の繰り返しです。
xo = 1 あたりから始めてみると、数回でスプレッドシートの桁数内にて収束します。

ズボラをきめこむのなら、「不動点収束」を試す手あり。
#1 さんの
>x=(1/2)^x
を借用。

xo に対して (1/2)^xo を勘定。
次に、xr = (1/2)^xo として (1/2)^xr を勘定。
これを延々と続けていけば、四十数回でスプレッドシートの桁数内にて収束。

お礼

ありがとうございます。
レベルが高すぎてついていけないのが残念。

回答No.1

rnakamra

高校数学の範囲内ということであれば無理。

この二つの関数は逆関数ですのでy=xの直線に対して線対称となります。
グラフを書けばこの二つの関数は1点でしか交わらないのはすぐにわかります。当然その点はy=x上に存在することになります。(y=x上にないとするとその点とy=xに対して線対称な位置にある点も交点となることになり矛盾が生じる)

つまり求める交点のx座標を求める方程式は
x=(1/2)^x
となります。簡単な方程式に見えますが解を初等的に解くことはできません。

wolframalphaで解いてもらうと
x=W(log2)/log2≒0.641186
となります。log2は自然対数,W(x)はランベルトのW関数といわれる特殊な関数です。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%3D%281%2F2%29^x

お礼

わかりました。ありがとうございます。