常用対数の文章題と指数関数的増減について

質問

お世話になっております。今常用対数を利用した文章題(原子の半減やら細菌やら濾過やらに関する)を解いているのですが、私的に弱いのかなぁと感じました。

取り敢えず教科書の例題を読み返したら、
例えば原子の半減に関するもので、ざっくり挙げますと
「a年で当初の1/2の原子数になる」という記述を
「一年ごとにb倍になる」と考えた時の式は
b^a=1/2…(1)
という式の立て方の根拠が分からなく色々試行錯誤してましたら、同じ教科書の零れ話に指数関数的増大に関するものがありまして、これをざっくり挙げますと
「最初Aだけあったものが、一定の時間t毎にc倍になるときの量」は時間tの指数関数
y=A・c^t…(2) で表される
とありまして、これを読んだら、(1)の式の根拠が見えてきました。つまり、(1)は(2)に於けるy=1/2、t=aという事ですよね？
ただ、この指数関数的増大を表す関数(2)がなぜ成り立つのかが分かってないと意味が無いから、また色々考えたら、(2)の式は等比数列の考え方にとてもよく似てるというか同じに見えます。最初の量=初項、増減の割合=公比 のような解釈で良いですか？
思えば、常用対数の文章題では複利計算に関するものもありますから、このことと指数と対数の関係(a^x=b⇔log[a]b=x)を考えれば、常用対数の文章題と指数関数的増減と等比数列はかなり密接に絡んでいるように感じます。こんな捉え方は如何なものでありましょうか。
また、特に増減の間隔が回数なのか、時間なのかという違いが例によって文章題では私的に引っ掛かりやすいなぁと嘆いておるのですが、回数にしても時間にしてもこれらを独立変数とした関数(2)にあてはめて式を組み立てていけば良いでしょうか。

例 ある微生物は一回の分裂で元のa倍になる⇒y=A・a^n
ある微生物は一定時間tごとに分裂して元のa倍になる⇒y=A・a^t (y=微生物の量とか個数、A=増減の割合)

のような感じです。
締まりのない文章で恐縮ですが、ご教示戴ければ幸いです。宜しくお願い致します。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

自然現象では「等比数列」的な増減モデルでシミュレートすると説明しやすい場合が多そうで、「最初の量量=初項、増減の割合=公比 のような解釈」は有効だと思われます。

「一年ごとに b 倍になる」と考えた時の式は、当初量を A として、
　y =A*b^t　　　…(*)
「a 年で当初の b 倍の原子数になる」のなら、
　y =A*b^(t/a)　　…(**)
が「等比数列」モデル。
(**) のモデルはそのまま通用しますが、連続量モデルにて微積分操作などで分析しようとすると、いわゆる指数関数 (e^t) が便利なことが多いので、
　b = e^{LN(b)}
　e は自然対数の底、LN(b) は b の自然対数
と変形してあることも多そう。
そのため、
　y =A*e^(t/a')　　…(***)
の形もよく見かけるでしょう。

要するに、向かっているのはターゲットの方向だと推察されますので、ご安心を。

お礼

素晴らしい回答をありがとうございました。頑張ります。