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指数関数の連立方程式

比を使った高校生の指数関数の問題なのですが、 参考書などを見ても全く解けず困っています。 x+y+z=12 2^(x-14):5^y=5^2y:10^(z+5) このような連立方程式でx,y,zの値を求めようとしています。 対数をとってみたのですが、うまく解けませんでした。 未知数が3つなのに、方程式2つで解けるのでしょうか? 回答よろしくお願いいたします。

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noname#47894
noname#47894
回答No.2

x,y,zは整数とか有理数とか、なんかそんな指定はないですか? 3文字で2式の場合は、無数に解が出てきそうですが... 2^(x-14):5^y=5^2y:10^(z+5) なので、5^3y=2^(x-14)×10^(z+5) 10を底として対数をとります。 3y(1-log2)=(x-14)log2+(z+5) log2について整理して3y-z-5=(x+3y-14)log2 ここで有理数条件(があるとして)から、両辺が0と分かりますね(log2が無理数なので...log2が無理数ということは証明なしで使えることにしますが、証明せよという問題もたまに出題されます) 途中の計算は、自分で確認してください。 ある無理数p、有理数a,bに対して、ap+b=0が成立すれば、a=b=0 というのがポイントです。

ayuayu02
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 x,y,zは整数と指定がありました。 不十分な質問ですみませんでした。 3y-z-5=(x+3y-14)log2 この式が成り立つためには、左辺が有理数であることが明らかなので、 両辺が0になるのですね。 3y-z-5=0 x+3y-14=0 という式と、問題文での式で解くことができました。 丁寧な説明ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • age_momo
  • ベストアンサー率52% (327/622)
回答No.1

2^(x-14):5^y=5^2y:10^(z+5) 等式にすると 2^(x-14)*10^(z+5)=5^y*5^2y 2^(x-14+z+5)*5^(z+5)=5^3y 等式が成り立つためには2の指数部分は0でなければなりません。 (右式に2の因数はありませんから) x+z-9=0 z+5=3y これを最初の式に代入すればよいのではないでしょうか。

ayuayu02
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 2^(x-14+z+5)*5^(z+5)=5^3y の式を恒等式として考えるということですね。 納得しました。 計算してみたところ、しっかりと答えを出すことができました。 早い回答ありがとうございます。

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