関数について

質問

y=aのx乗という指数関数がありますが、
このときa=xとなったらこれも同じく指数関数として
見てもいいのでしょうか。

また、x=1,2,3…と増えていったときは
どのような数列になるんでしょうか…。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

aを定数(動かさない)とき、y=a^xを(aを底とする)指数関数といいます。
したがってy=x^xのような底も動く関数は指数関数とは呼びません。
一般に(a>1のとき)指数関数は急速に大きくなる関数ですが、この
y=x^xという関数はそれとは比べ物にならないほど大きくなります。
具体的に見るために20^20まで計算してみましょう。

1^1=1
2^2=4
3^3=27
4^4=256
5^5=3125
6^6=46656
7^7=823543
8^8=16777216
9^9=387420489
10^10=10000000000
11^11=285311670611
12^12=8916100448256
13^13=302875106592253
14^14=11112006825558016
15^15=437893890380859375
16^16=18446744073709551616
17^17=827240261886336764177
18^18=39346408075296537575424
19^19=1978419655660313589123979
20^20=104857600000000000000000000

ちなみにたとえばa=e（約2.71）とすれば
e^20≒485165195
ぐらいなので、y=x^xという関数は想像以上に速く大きくなる関数です。

さらに蛇足ですが、指数関数より速く大きくなる関数として
階乗y=n!があります。連続パラメータにするためにガンマ関数
というものがあるのですが、y=x^xはそれよりも速い速度で発散します。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
成る程…。
底が動いちゃいけないんですね…。
参考にします。