どんな数でも無限級数の和になるのでしょうか

質問

πやｅも級数の和と考える方が数学的なのだろうと想像しますが、どんな数でも何かの級数の和に必ずなっているのでしょうか。逆に決していかなる級数の和にもならない数というものも存在するのでしょうか。

回答No.5

jamf0421

>πやeなどについても同じようなことが言えるのでしょうか。

収束先は何でもありです。

>またご解説によれば単一の数にも条件を満たす複数の級数が
>存在するのでしょうか。

そうです。
No2さんの例やNo1さんがNo3で示された例は絶対収束ですが、これらで、もうすでに複数挙がっていて、バリエーションはいくらでもできます。
条件収束の級数なら何でも（No1さんが書かれたように）順序を並べ替えればすきなところへ収束させられますから無数にありえます。ある数に固有の級数しか収束しない、ということはありません。

お礼

一所懸命勉強したいと思います。かさねがさねありがとうございます。

回答No.4

jamf0421

No1さんのご回答が簡略ですが強力だと思います。お望みの数をA（任意の実数）とします。一方aiを条件収束する級数とします。
1)ai→0(i→∞）
2)Σ'(i≦n)ai(正項）→+∞(n→∞）(正の項だけ足したら発散）
3)Σ"(i≦n)ai(負項）→-∞(n→∞)（負の項だけ足したら発散）
まず
Σ'(i≦n1)ai＞A
となる最小のn1をとります。（つまり初めに正の項だけならべてAを超えるところまで行きます。）次に
Σ'(i≦n1)ai+Σ"(i≦n2)ai≦A
となる最小のn2をとります。（今度は負の項を入れてAより少し小さくします。）以下これを繰り返します。Aを挟む振幅はai→0よりゼロになって行きます。つまり条件収束する級数をもってくれば順序を入れ替えてお望みのところに収束させられるのです。

補足

ご解説いただいたことをほとんど理解できないまま申し上げるのも恐縮ですがπやeなどについても同じようなことが言えるのでしょうか。またご解説によれば単一の数にも条件を満たす複数の級数が存在するのでしょうか。

回答No.3

Tacosan

もっといえば
a+0+0+...+0+... = a
か.

補足

その数固有の級数というものはないのでしょうか。素数に相当するような級数を空想しているのですが…

回答No.2

banakona

＞どんな数でも何かの級数の和に必ずなっているのでしょうか。

なっています。というか、できます。
ａに収束する級数が欲しければ、１に収束する級数、例えば

　１／２＋１／２^2＋１／２^3＋１／２^4＋・・・

を持ってきて、各項にａを掛ければ、ａに収束する級数の出来上がりです。

お礼

ご教示ありがとうございます。a倍しないでもaになってしまうようなものがないのだろうかというつもりでした。

回答No.1

Tacosan

「級数の和」って微妙な表現なんだけど, 有限であればそれに収束する級数は必ず存在します.
条件収束する級数を 1つ持ってきて, 項の順番を適当に入れ替えるだけ....