無限級数の和について

質問

次の無限級数の和Sを求めよ
S=Σ[n=0→∞] an*exp(-an)

----------------------------------------
という問題です。
Σ[n=0→∞] exp(-an) = 1/(1-exp(-a))
というのは分かったんですが、こちらは手も足も出ない状態です。

わかる方いましたらよろしくお願いいたします。。。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
Σ[n=0→∞] exp(-an) = 1/(1-exp(-a))
を見ると
Σ[n=0→∞] exp(-anx) = 1/(1-exp(-ax))
も納得できるよね。
両辺をxで微分すると-1倍すると
Σ[n=0→∞] an*exp(-anx) = a*exp(-ax)/(1-exp(-ax))^2
つまり
Σ[n=0→∞] an*exp(-an) = a*exp(-a)/(1-exp(-a))^2
です。
(2)
S=Σ[n=0→∞] an*exp(-an)
とすると
exp(-a)S=Σ[n=0→∞] an*exp(-a(n+1))=Σ[n=1→∞] a(n-1)*exp(-an))
第1式から第2式を引けば
(1-exp(-a))S=Σ[n=1→∞] a*exp(-an))=aΣ[n=0→∞] exp(-a(n+1)))=a*exp(-a)Σ[n=0→∞] exp(-an))
(1-exp(-a))S=a*exp(-a)/(1-exp(-a))
S=a*exp(-a)/(1-exp(-a))^2

お礼

2通りの解き方を丁寧に示していただけて助かりました！ありがとうございました！
一番解答が早かったのでBAに選ばせていただきました！

回答No.2

bran111

S=Σ[n=0→∞] an*exp(-an)=aΣ[n=0→∞] n*exp(-an)=aΣ[n=0→∞]{-d[exp(-an)]/da}
=-ad{Σ[n=0→∞]exp(-an)}/da
=-ad[ 1/(1-exp(-a))]/da (質問者の式使用）
=-ad[(1-exp(-a))^(-1)]/da
=-a(-1)(1-exp(-a))^(-2)exp(-a)
=aexp(-a)/(1-exp(-a))^2

お礼

途中式の形も実践的で分かりやすかったです！ありがとうございました！