左剰余類の逆元の集合は右剰余類である

質問

助けて下さい。証明ができません。

命題：
任意の部分群に対して、左剰余類の要素の逆元の集合は右剰余類と等しい。

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

No.1 に対する補足を読みました。
とてもよく理解できています。
惜しいミス（ただの書き間違い？）が一箇所あったのを除けば、完璧だと思います。

>剰余類の定義は
>Gの部分集合H、あるGの元gに対して、gHを左剰余類、Hgを右剰余類とする
>です。
H は G の単なる部分集合ではなく、G の部分群です。
H が G の部分群なら H^(－1) = H が成り立ちますが、部分集合という条件だけでは成り立たないことに注意してください。
続きの部分は正しく、g H を H を法とする g の左剰余類、H g を H を法とする g の右剰余類といいます。

g h の逆元 (g h)^(－1) は、お答えになっている通り h^(－1) g^(－1) です。さらに、御察しの通り、

g H のすべての元の逆元からなる集合

= { h^(－1) g^(－1) ∈ G | h ∈ H } = H^(－1) g^(－1) = H g^(－1)

であり、H を法とする g^(－1) の右剰余類となります。よって、証明が完成しました。

剰余類という用語を使っている以上、もととなる同値関係や G／H という剰余集合が考えられます。
それらを一緒に学んだ方が理解が深まるとは思うのですが、その辺りは講義の進度に合わせてください。

お礼

非常に丁寧な回答ありがとうございます。

Hは部分群です。書き間違えました。

同値関係と剰余集合に関しても勉強しようとおもいます。

ありがとうございました

回答No.1

OurSQL

H を群 G の部分群、g ∈ G とします。

左剰余類と右剰余類の定義は、分かっていますか。

g H の元 g h ( h ∈ H ) の逆元を求められますか。

G の部分集合 { h^(－1) g^(－1) ∈ G | h ∈ H } は、どういう集合か分かりますか。

分からないところがあれば、本で調べるか、あるいは補足してください。

補足

まず
(gh)^(-1)=h^(-1)g^(-1)
ですね。
僕はここが間違ってました。

この集合はHの右からg^(-1)をかけているから右剰余類なのか？が疑問です。

剰余類の定義は
Gの部分集合H、あるGの元gに対して、gHを左剰余類、Hgを右剰余類とする
です。