誤差と最小二乗法

質問

単振り子の振れの大きさを小さくし、
振り子の長さLと周期Tを5通りほど計測しました。

そこでT=2π√(L/g)⇔g=4π^2L/T^2から
重力加速度を5通り求めました。
結果、どれも相対誤差0.3％以内で、
どれもマイナスの誤差になりました。

次にT=2π√(L/g)⇔T=(2π/√g)*√Lとし、
√Lをx軸に、Tをy軸にとり、(2π/√g)を傾きとするグラフを描きました。
ここで、最小二乗法よりグラフの傾きを求め、
そこから重力加速度gを求めたところ、
相対誤差が3％になり、さらにそれはプラスの誤差でした。

そこで質問です。
最小二乗法を用いるのは今回が初めてなんですが、
このように測定値を単体で考えたときと、
測定値をまとめて最小二乗法で考えたときとで、
こんなにも誤差が変わるのはよくあることですか？
それとも計算に誤りがあるのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。
最小二乗法を使うときに大切なことを説明します。
最小二乗法を用いる時には、統計データを取る系について検討をしなければなりません。なおかつ、計算を行う系は同じものでなければならないという性質があります。

今回質問を頂いたものに関しますと、統計誤差が-0.3%と3%であるような気がします。なぜならば、計算回数を考えて見ましょう。

最初の実験結果推定においては、直接法ですから、1回の計算で求められています。しかしながら、次の実験結果推定においては、2回の計算で求められていますよね？

なぜならば、2回目の実験推定結果は、グラフの傾きを求めています。よって、直接計算をした後、ある関数の傾きを求め（数値法で）ているからです。

たぶん、こんな理由から、誤差の違いが出てくるのだと思います。

以下、用語の定義。

誤差
測定値と真の値（永遠に不明）の差，従って具体的な誤差値も永遠に不明です．ここが、測定誤差と呼ばれる範囲で、そこで計測に用いられた器具などから読み取れる誤差分を明らかにしなければなりません。

残差
推定値と測定値との差．この値は計算することが出来る．->最小二乗法で用いることができる．

最小二乗法で計算できるのは、残差の値です。なぜかについては、参考URLを御覧ください。

参考URL：

http://www.eli.hokkai-s-u.ac.jp/~kikuchi/ma2/chap08.html