ピタゴラス数に必ず素数が含まれるかについて

質問

(1)互いに素である3つの自然数が直角三角形の3辺の長さとなっているとき、素数が少なくとも１つは含まれるような気がします。3・4・5、5・12・13、7・24・25、8・15・17、9・40・41等々・・・真でければ証明を、偽であれば反例を与えることが出来る方がいらっしゃいましたら、お教えください。移項して因数分解したりしましたがうまくいきません。
(2)重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを示せる方がいらっしゃいましたら、その方法（概説でも結構です。）をお教えください。
実は明後日が大学入試試験です。もし都合が良いようでしたら、なるべく早く御回答いただけるようお願いいたします。

回答No.4

mister_moonlight

もっと簡単にしょう、と思ったら　ｗ

＞いろんな方法が考えられるが、Ａ（a、b）、Ｂ（0、0）、Ｃ（c、0）として座標を使えば簡単に行く。

Ａ（a、b）、Ｂ（0、0）、Ｃ（2、0）としてやれば良い。
ＢとＣを固定しておいて、Ａだけ動かしてやれば良い。それで、一般性を失う事はない。

他では、ベクトルも考えられるが、試してみて。

回答No.3

owata-www

(1)は＃１さんの反例で終わってしまったので(2)だけ解説すると

まあ、パッと思いつくのは座標ですが図形的にやると
△ＡＢＣの重心（外心）をＧとし
重心→ＡＧは～の二等分線
外心→ＡＧ⊥～

とかやって、相似を使う手があります

回答No.2

arrysthmia

3・4・5 が直角三角形なら、
6・8・10 も直角三角形。
素数が含まれるって…？

回答No.1

mister_moonlight

＞(1)互いに素である3つの自然数が直角三角形の3辺の長さとなっているとき、素数が少なくとも１つは含まれるような気がします。

駄目みたいね、下のＵＲＬに君の質問の反例がある。

http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/naosuke/pynumber.html

＞(2)重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを示せる方がいらっしゃいましたら、その方法（概説でも結構です。）をお教えください。

いろんな方法が考えられるが、Ａ（a、b）、Ｂ（0、0）、Ｃ（c、0）として座標を使えば簡単に行く。
自分で、やってみて。