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ペル方程式x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか？
- pを4で割って1余る素数とするとき、x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか？
- Dは4で割り切れず、Dの素因数に4で割って3余る素数を含まない必要条件がある。
- ペル方程式x^2-Dy^2=-1が整数解を持つことと、連分数展開の周期が奇数になることは同値である。しかし、これらの条件を満たすDでもペル方程式が整数解を持たないものが存在する。
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その主張の証明が以下の本に載っているようです（まだ自分では確かめてみてませんが）： Diophantine equations / Mordell, L. J. (Louis Joel), 1888- / London / 1969 －１に対してのPell Equationsはかなりよくわかっているようです。参照してみてください。
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- yoikagari
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100万までの素数表もつけておきます。
- yoikagari
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失礼しました。 お詫びと言ったら何ですが、Dが2≦D≦9999の任意のx^2-Dy^2=±1の最小解があるページへのリンクを張っておきます。 お役に立てれば幸いです。
お礼
素敵なページをご紹介くださってありがとうございます。9999まででも反例はやはりないようですね。となるとおそらく正しいのでしょう。合成数についてもいろいろ調べてみたので、わかった事実を一つ報告しておこうと思います。D=2*pでpが4で割って1余る素数の場合、この場合x^2-Dy^2=-1は整数解を持つことも持たないこともあるのですが、特に整数解を持たない場合はいつでもp≡1(mod.8)となっていました（p<1000で確かめました）。対偶を取ればp≡5(mod.8)ならばD=2*pに対してx^2-Dy^2=-1は整数解を持つことになります。先のp≡1(mod.4)の場合が正しいとすれば、それとは別の十分条件が与えられることになります。残念ながら必要条件ではないようです。n=30ぐらいまでで調べてみましたが、剰余だけでは判定できないように思いました。ずいぶんと難しい問題なのかも知れません。 来週あたりに数論をやってる修士の子と会える機会がありそうですので、少し聞いてみようと思います。何かわかりましたらご報告しようと思います。
- yoikagari
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以下のページをご覧ください。 Dが4で割って1余る素数の場合も、周期kが偶数になる(つまり、x^2-Dy^2=-1が解を持たない)場合があることがわかると思います。 以下のページを見ると D=103のとき周期k=12 D=127のとき周期k=12 D=139のとき周期k=18 D=151のとき周期k=20 D=163のとき周期k=18 D=191のとき周期k=16 D=199のとき周期k=20 D=213のとき周期k=12 D=251のとき周期k=14 D=263のとき周期k=12 D=271のとき周期k=24 D=283のとき周期k=18 D=307のとき周期k=14 D=311のとき周期k=16 D=331のとき周期k=34 とあります。
補足
ありがとうございます。ですが上に上げられているのは213は合成数ですし、他は4で割って3余ります。僕が計算した結果を下に貼り付けておきます。 P 周期 5 1 13 5 17 1 29 5 37 1 41 3 53 5 61 11 73 7 89 9 97 11 101 1 109 15 113 9 137 9 149 9 157 17 173 5 181 21 193 13 197 1 229 5 233 11 241 17 257 1 269 3 277 21 281 13 293 5 313 17 317 11 337 19 349 7 353 15 373 5 389 9 397 21 401 1 409 21 421 37 433 21 449 17 457 25 461 15 509 19 521 19 547 39 557 5 569 19 577 1 600までの4で割って1余る素数では反例はありませんでした。
お礼
ありがとうございます。Mordellの本を参照してみました。Pell's equationという章があって、15ページほどでしょうか、記述がありました。p≡1(mod.4)の場合は次の簡単な議論によって解の存在がわかるようです。 x^2-py^2=±1の最小自然数解を(X,Y)とおく。もしX^2-pY^2=1であれば、p≡1(mod.4)よりXは奇数、Yは偶数でないといけない。したがって{(X+1)/2}・{(X-1)/2}=p(Y/2)^2という分解を持つ。これから、ある整数a,bが存在して (1) (X+1)/2=p・a^2，(X-1)/2=b^2 (2) (X+1)/2=a^2，(X-1)/2=p・b^2 のどちらかのようにあらわされる（平方因数を持たなければ共約数を持つことになるが、それは差が1であることに矛盾）。片々引けば (1) b^2-p・a^2=-1 (2) a^2-p・b^2=1 となる。いずれにせよ、(X,Y)が最小自然数解であることに矛盾。したがって、p≡1(mod.4)に対する最小自然数解はX^2-pY^2=-1を満たす。 古い本なので最近のことはどうかわかりませんが、出版時点では「まだ一般の合成数Dに対しx^2-Dy^2=-1がいつ可解になるか、ということは知られていない」と書かれていました。
補足
Dが素数の場合と同様の論法を使って、D=2p（p≡5(mod.8)）の場合についても正しいことがわかりました。D合成数に対して、さまざまな必要条件や十分条件を与えられることが、実際に作ってみた数表を眺めているとわかりましたが、そのどれもが必要十分の形で与えることはできませんでした。剰余だけに着目するというのはセンスの悪い考えなのかも知れません。ベルヌーイ数やオイラー数との関係も指摘されているようで、なかなか奥の深い問題のようです。