微分方程式の定数変化法について

質問

y'+P(x)y=Q(x)を解く際に
まず、y'+P(x)y=0の解を出し、その一般解を求めます。
定数変化法では、その解y=Aexp(-∫P(x)dx)のAをxの変数とみなし、一行目の微分方程式にあうようにAを決定するとしてとくわけなのですが、どうして
それで一般性を失わないのでしょうか？
それですべての一般解を表せているという事がうまく飲み込めません。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

単に与式の解を
y(x)=z(x)exp(-∫P(x)dx)
としてみると
z'(x)=Q(x)exp(∫P(x)dx)
となり簡単解きやすくになると言うことだけです
つまり
y(x)=z(x)exp(-∫P(x)dx)とすれば
y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)⇔z'(x)=Q(x)exp(∫P(x)dx)
と言うことです
等価変形だから一般性を失わないのです

例えば
方程式4x^2+4x+1=0
をとくときにz=2xとおき
その方程式を
z^2+2z+1=0
としてzについて解き
それをz=2x⇔x=z/2に代入して解いても
一般性を失わないでしょう
それと同じです

お礼

分かりやすい説明で飲み込めました。
式を簡単にするためにy(x)=z(x)exp(-∫P(x)dx)を代入しただけだったんですね。
ただの式変形なので一般性を失わないこともわかりました。
下の例もわかりやすかったです。

回答No.2

arrysthmia

「定数変化法」という名前が良くないので、変な気がするのでしょう。
定数であったものを、後から変数とみなした …とは考えずに、
A(x) = y(x) / exp(-∫P(x)dx) で、新しい関数 A を定義したと考えましょう。
その際、y'+P(x)y=0 を解いたという exp(-∫P(x)dx) の由来は一旦忘れて、
どこからともなく唐突に y(x) / exp(-∫P(x)dx) という式を思いついた
と考えたほうが、A(x) を考える意味が分かりやすいかも知れません。
極普通の、置換積分です。

お礼

あまり前後の意味合いは考えず、"突然"y=A(x)exp(-∫P(x)dx)を代入すると、式がきれいになるという、置換積分だったんですね。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#111804

A(x)=C-∫[Q(x)exp(-∫P(x)dx)]ｄｘ
となり、A(x)の中にすでに積分定数Cが入っているからです。