次の相乗記号を近似したいです

質問

式　Π[k=0,n](a^k+b)　
を簡単にできませんでしょうか。
aは１に近い数（<1）で、nは適度に大きい数です。

よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

補足について。

単に、cについて１次近似しただけ。
log{(1-c)^k+b}
をc=0の周りでテイラー展開して１次までとった。
f(x) ≒ f(0) + f'(0)*x
てやつ。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

a=1-cと書いて、
logとって和に直して、
log(a^k+b) = log{(1-c)^k+b} ≒ log(b) - c*k/(1+b)
とでも近似すれば、
log{Π[k=0,n](a^k+b)} ≒ (n+1)log(b) - c*n^2/(2b)
ですから、
Π[k=0,n](a^k+b) ≒ b^(n+1)/exp{c*n^2/(2b)} = b^(n+1)/exp{(1-a)*n^2/(2b)}
くらいかな。

どっか計算間違ってるかもしれないですけど。

補足

回答ありがとうございます。
一番初めの
log{(1-c)^k+b} ≒ log(b) - c*k/(1+b)
⇔
log{((1-c)^k+1)/b} ≒ - c*k/(1+b)

はどのように計算しているのでしょうか？