ガウス記号を含む演算について

質問

ａ^ｋ－ｂ^ｋ・（ａ／ｂ）^ｋ＜ｂ^ｋ－（ａ／ｂ）^ｋ
という不等式があります（ａもｂもｋもすべて整数であるとします）。ただしこの不等式が正であるかどうかはまだわからないと思います。そこで、ａ＝３、ｂ＝２と値を置いてみます。すると上式は
３^ｋ－２^ｋ・（３／２）^ｋ＜２^ｋ－（３／２）^ｋ
となります。この場合左辺は０なので、この不等式は成立します。
では上式中の（３／２）^ｋを［（３／２）^ｋ］と置き換えて、式の左辺を３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］、右辺を２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
とします。このときも、すなわち
３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
としたときもこの不等式は成立するのでしょうか。ｋに値を与えて、たとえばｋ＝２とします。すると
３^２－２^２[（３／２）^２］＜２^２－[（３／２）^２］
　　　　↓
９－８＜４－２
となって不等式は成立します。ただしこれはｋ＝２のときについて
その解を見たものであって、あらゆるｋの値について
３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
が成立するかどうかを説明するものではないと思います。
あらゆるｋの値について
３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
という不等式が成り立つことを代数的に証明することはできないものでしょうか？

回答No.3

Tacosan

や, そんなに難しい話ではなく, 「まだわからないと思います」のところがよくわからんのですよ.
a^k - b^k・(a/b)^k は常に 0 ですから, この不等式と
b^k < (a/b)^k
は等価です. 結局, a > b^2 と等価ですね.

補足

あ、そうですね。ほんとにやんなっちゃいます。自明のことが見えなくなっています。問題は３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］としたときも、この不等式が成立するかどうかなのです。info22さんによれば
k=0,1　で　左辺＝右辺
k=121,123,128,140,154,158,160,166,176,179,203,207,219,242,246,
254,261,267,302,…　で　左辺＞右辺
ということでした。で、ここではk=0,1のケースは除外してそのほかの反例としてk=121,123,128,140,154,158,160,166,176,179,203,207,219,242,246,
254,261,267,302
という場合があるとのご指摘をいただいていて、なるほどそうなのかと思うほかありません。確かめようにも当方には計算不能です。

回答No.2

Tacosan

本題は終わっていますが, そもそも最初の
「ａ^ｋ－ｂ^ｋ・（ａ／ｂ）^ｋ＜ｂ^ｋ－（ａ／ｂ）^ｋ
という不等式があります（ａもｂもｋもすべて整数であるとします）。ただしこの不等式が正であるかどうかはまだわからないと思います」
で何を言わんとしているのかが分かりません.

お礼

ご回答ありがとうございます。「何を言わんとしているのかが分かりません」というのはごもっともなご指摘で、これに関してはinfo22さんへのお礼のなかで詳しく述べさせていただきました。もしよかったらご参照ください。

回答No.1

info22

> あらゆるｋの値について
>３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
>という不等式が成り立つことを代数的に証明することはできないものでしょうか？

成り立ちませんので証明できません。

反例（成立しないケース）
k=0,1　で　左辺＝右辺
k=121,123,128,140,154,158,160,166,176,179,203,207,219,242,246,
254,261,267,302,…　で　左辺＞右辺

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。ご提示いただいた反例には参りました。そもそも　k=0,1　で　左辺＝右辺　ということくらいとっくに確認しておかなければいけませんよね。恥ずかしいかぎりです。それにしても
k=121,123,128,140,154,158,160,166,176,179,203,207,219,242,246,
254,261,267,302,…　で　左辺＞右辺
という空恐ろしい反例をあげていただいたのにはビックリしました。声も出ません。
そもそもこういう質問をしたのはウェアリングの問題に興味をもったからです。ｇ(ｋ)を求める式として以下のオイラーの式が知られています。
ｇ(ｋ)＝［（３・２）^ｋ］＋２^ｋ－２
この式が成立するｋの範囲を求める式として以下の式も知られています。
（３／２）^ｋ]（１－２^ｋ）＋３^ｋ≦２^ｋ・・・（１）
が成立すればオイラーの式が成り立つというわけです。
（http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/675_nt5.htm内の【２】ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式以下の１０行目以降）
で、上記の（１）式がどういう経路で導き出されたのかを考えているうちに
［（３／２）^ｋ]＞（３／２）^ｋ－（１－ｘ）・・・（２）
という形を考えて見ました。これは元来
［（３／２）^ｋ]＞（３／２）^ｋ－１・・・［Ａ］＞Ａ－１の形です。で、この式の１をさらに小さくしてみようと思いそれを１－ｘと置いてみたわけです。で、このｘを
ｘ＝[（３／２）^ｋ]／２^ｋとして（２）式に代入すると
２^ｋ［（３／２）^ｋ]＞３^ｋ－２^ｋ＋[（３／２）^ｋ]・・・（３）
が得られ、これから（１）式が得られたのです。しかし上記Ｘの値というのはｘ＝[（４／２）^ｋ]／２^ｋ＝１としてみた場合には１になるのでガウス記号内の分子をこれより１つ小さい［（３／２）^ｋ]としただけのことで数学的な根拠はありません。
（３）を変形すると
３^ｋ－２^ｋ[（３／２）^ｋ］＜２^ｋ－[（３／２）^ｋ］
が得られます。そしてこの不等式は成り立たないことがinfo22さんの手によって見事くつがえさせられました。とすると（１）式はいかなる過程をへて導き出されたのかという元の課題につきあたってしまいます。