近似線の求め方

質問

測定値に対して誤差が正負の範囲でついているときの近似曲線の求め方がわかりません。

ある測定値nには誤差±mが含まれています。
その誤差の傾向は±m=(±a)/(tanθ) [0<θ<90]とわかっているので
f(θ)= a/(tanθ) + b
という式に最小二乗法でフィッティングして誤差を補正した正しい値bを求めようと思いました。
この式を求めるとθ＝９０°の時に誤差の項が０となるので求めたい値を決定できそうです。
しかし、これでは誤差が正または負のどちらかに固まっている場合しか正しく計算できません。

このように誤差が求めたい値の（グラフで見ると）上下に現れる場合どのようにして未知の値ｂを求めればよいのでしょうか？

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

最小二乗法は待ったほうがいいですね。おかしいです。

誤差と言われているものが本当に偶然誤差であるなら、誤差確率は誤差0のまわりに対称に分布しますから、伝搬則で係数が大きくなってもそのまま広がるだけで中抜きになることはありません。

なので、まずもう少し測定をくり返して、本当に中抜きの上下2つに分離するのかどうかを確認するのが先です。何度くり返しても中抜きになるならどこかで系統誤差が入り込んでますので、測定系(もしくは解析方法)を見直したほうがいいです。

何度かくり返すうちに上下に別れずにbを中心に対称に分布するようになったなら、θごとに分散の値が異なるので、重みつきで平均をとればいいのではないかと思います。

お礼

丁寧にありがとうございました。

もう一度全体を見直します。

回答No.2

hitokotonusi

今ひとつ事情が飲み込めないのですが、本来は角度によらず一定の値bを取るはずの計測値が、測定系のアライメントなどの事情により系統誤差が生じているということでしょうか？

系統誤差分だとすると(そうとしか思えませんが)、

＞その誤差の傾向は±m=(±a)/(tanθ) [0<θ<90]とわかっているので

の＋と－にはきちんと理由があるはずなので、＋と－が生じる条件を把握してデータを場合分けして、それぞれについて最小二乗法をかければいいのではないですか？

補足

回答ありがとうございます。

説明が不明瞭でした＞＜

他の計算方法で大まかなｂの値は求められるのですが、誤差の補正を行い精度を高めようとしています。
本来は一定の値ｂをとるはずなのですが、測定は目測で行っているので測定誤差が生じているはずです。
また、この測定は間接測定であるため、誤差伝搬を考えると、
（ｂの誤差）＝（1/tanθ）＊（測定誤差）
となるのです。

この測定は、ある部分の距離を測定したものであるので、誤差は不規則的に正または負で現れていると思うのですが…

とりあえず大まかなｂの値より大きいか小さいかで場合分けし、最小二乗法を行ってみます。

回答No.1

ninoue

全体の事が分らないのでピンと外れの回答だったらごめんなさい。

変数変換により一般の１次式の近似式を求める形にする事が出来るのではと思われます。
f(θ)=a/(tanθ) +b
==>
f(x) = ax +b; x=1/(tanθ)

これにより多数の計測データをグラフ化すると傾向がより見やすくなるのではないでしょうか。

誤差が質問の図の中で２個の曲線近くにばらつき、その中間のb付近の値はないのでしたら、xの大きい範囲の計測データは前処理で２種類に分割して処理する等が必要だと考えられます。

この処理を一度通してみて、bの近似度が上がった段階で、再度分割を繰り返してa,bの近似度をより上げる等が必要ではないでしょうか。