はねだし単純梁？の反力

質問

Ｐ
/|　　　　　　　　　↑　
/|―――――――
/|　　　　△
Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ
← x →← y →

材料力学は会社に置いてある本を眺めたことがある程度で、
上図の梁計算ができなくて悩んでいます。

Ａ点はガチガチにくっついていて、固定端？です。
Ａ点からｘ離れたＢ点はピン接合で、さらにy離れたＣ点は自由端で、
Ｃ点に引張荷重Ｐを加えます。
この時の、Ｂ点の反力はどのような式になるのでしょうか。

もう一つ質問がありまして、
当初、Ａ点もピン接合として梁計算をやってみたのですが、
Ｂ点の反力が大きく許容応力度を超えてたため、Ａ点を固定端にしてみようと思いました。
Ａ点はガチガチに溶接してあり、間違いなく変動も回転もしません（と思い込んでます）が、
こんな考え方は危ないでしょうか。

私の会社には私を含めて力学が分かる人がいなく、相談相手もいないので非常に困っています。
どうか助けてください。

回答No.2

noname#102385

今晩は　cyoi-obakaです。

簡単ですヨ！
固定モーメント法を使います。
先ず、C～B間のモーメントとB支点反力Rb1を算出します。
Mb = P・y　　…………（1）
Rb1 = P　　　…………（2）
次に、B～A間のモーメントとB及びA支点の反力を求めます。
この場合、Aは固定端、Bは回転端（ローラー）とし、B支点に（1）のMbが外力として作用しているとする。
そうすると、固定端の到達モーメントはMb/2となるので、
B～A間の剪断力は、（Mb+Mb/2）/x = （3Mb/2）/x …………(3)
(3)の剪断力はB端及びA端の反力に等しいので、
B端の反力Rb2＝（3Mb/2）/x　……………（4）
（4）に（1）を代入して、Rb2＝3P・y/2x　　……………（5）
　　B支点反力は　Rb　＝　Rb1　+　Rb2　＝　P（1+3y/2x）
　　A支点反力は　Ra　＝　P・3y/2x

さて、A支点が回転端（ピン）と仮定した場合は、（計算省略）
　　B支点反力は　Rb　＝　P（1+y/x）
　　A支点反力は　Ra　＝　P・y/x
と成ります。
従って、Aを固定端と考えた場合の方が、反力は大きく成りますから、ピンでの仮定計算は危険側に成ります。

以上、参考意見です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
ピンの計算は、手元にあった材力の本見ながら何とか出来ましたが、
固定端になると変数が増えて、脳みそから煙が出てきました。
私自身「固定モーメント法」自体がもう一つ理解できていませんが、
公式のようなものだと割り切って、結果に至る過程も何となくわかりました。
（多分、少しでも違うモデルになると、また悩むのでしょうけど）
今回は、本来偏心しない物を偏心させてくっつけたということで、
耐力的に問題ないことを計算で証明できれば、作り直さずに済むかと思い、
普段やらないこんな計算をやってみようとなった訳です。
ピンの方が危険側の計算だったという結果を受け、計算では持たないことが判り、
今回は客先にごめんちゃいしに行きました。
このような計算は本業ではありませんが、とても勉強になりました。
ってここで済ませてしまうと、たぶん次があったらまた同じレベルで
質問する羽目になりますので、もう少し独学しておきたいと思います。

回答No.1

smzs

最初に確認です。「Ｃ点で引張荷重Ｐ」とありますが、図を見ると、Ｐは引張（右向き）ではなく上を向いていますね。ですから、引張荷重ではなく、通常の、梁の曲げ問題として解答します。

　片持ちばりの中間に支点がある、という構造なので、１次の不静定ですね。簡単な力の釣り合いだけでは解けません。
　やり方としては、３モーメント法、余力法などいくつか方法があるのですが、あまり慣れていないとすれば、余力法の考え方が直感的で分かり易いかも知れません。

　　　　　　　　　　Ｐ
/|　　　　　　　　　↑　
/|―――――――
/|　　　　↑＝Ｘ
Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ

　まず、Ｂ点に支点がなく、かわりにＢ点に上向きに（まあ、下向きでも良いですが、符号だけは気を付けて）Ｘという力が作用している構造を考えます。Ｘは、この時点ではまだ未知数です。
　この、ＰとＸという二つの荷重が作用している（仮の）構造は、簡単な片持ちばりで、静定ですから、すぐに計算できます。そこで、この構造のＢ点のたわみを計算します。そのたわみには、Ｘが未知数のまま含まれているはずです。そこで、このＢ点のたわみをゼロと置きます。Ｂ点は元もと支点だったので、そこでのたわみもゼロのはずだ、という意味です。そうすると、未知数だったＸが求まります。これが、Ｂ点での反力になります。

　ご質問後段の、Ａ点をピンと仮定した場合ですが、こうすると、確かに静定構造となり、計算は簡単になります。しかしこの場合は、Ａ端では、曲げモーメントがゼロ、すなわち応力もゼロとなってしまいます。現実にはＡ点では曲げによる応力が発生しますから、その意味では、これは「危険側」の仮定ということになります。あとは、その危険側への「差」がどの程度まで許容できるのか、問題次第、ということになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
引張荷重と書いたのは、実際のブツ自体は
梁→鋼板
Ｃ点→ねじ（溶接）
Ｂ点→鉄筋（コンクリートへ埋め込み）
と、ねじと鉄筋が偏心した状態で引っ張り合う形になるので
力学的な話でなく、私の頭の中での引張ということでした。
梁モデルにしてみたら、ご指摘のとおり通常の曲げです。
すみません。
固定端にすれば、Ｃ点の曲げ応力がＡ点のモーメントにも分散されて
Ｂ点での反力が少しでも小さくなるのかな、って思い込んでましたが、
結局は固定端で考えた方がＢ点の反力が小さくなるのですね？
私自身もっと勉強したいと思いますが、
このような質問に簡単に答えられるくらいの知識があれば、
ピンモデル、固定端モデルのどちらが危険側になるかは
計算せずともピンとくるものなのでしょうか。