反力の分布、モーメントのつり合い

質問

こんにちは、力学についてに質問です。材料力学を勉強し始めたもので、ぜひ勉強させて頂きたく、以下のわたくしの疑問や説明について間違っている点やコメントなど頂けますととてもありがたいです。

添付の図のように黄色の物体が壁に張り付いており、外力F（直線の赤矢印）が働いています。これに対して、壁は反力として同じ大きさのFで反対方向の力を物体に与えます。また、物体が回転しないようにモーメントのつり合いを考えなければなりません。この反力の分布と、モーメントのつり合い、さらには壁がもたらすモーメントとの正体についてご教示頂ければと思い投稿させて頂きました。どうぞよろしくお願いします。

（１） 点A周りのモーメントのつり合いを考えます。外力Fは点A周りにモーメントを起こし、それはFRの大きさで、反時計回りです。このモーメントを打ち消すために、壁も点A周りにモーメントを起こしているはずです。なので壁からのモーメントは大きさFRで時計回りのはずです。ここまではOKなのですが、次がわからない点でして、どうかよろしくお願いします。

（２）点B周りのモーメントですが、やはり外力FがFRで反時計回りのモーメントを起こしています。しかし、壁からの反力が均一である場合、緑のラインに関する対称性から反力はB周りにトルクを生じません。ですので、外力Fによるモーメントを打ち消すモーメントが存在しません。

すると、反力は図面のように均一ではなく、不均一なのでしょうか。つまり、B周りに時計回りのモーメントを起こすように分布（上部が大きく、下部が小さい）しているのでしょうか。

であるならば、この不均一な反力は点Aにも時計回りのモーメントを起こし、それは点Bのものとまったく同じ大きさとなり、FRです。すると、不均一反力によるモーメントと外力によるモーメントの合計がゼロとなり、（１）での議論、点Aでのモーメントのつり合いは、完結してしまい、（１）で挙がった「壁が起こすモーメント」が不要となります。どういうことでしょうか。

「壁が起こすモーメント」の正体は結局のところ「不均一な反力により生じるモーメント」ということでしょうか。

ぜひ、ご教示頂ければと思います。
宜しくお願い致します。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

まず，前提条件を明確にしておきましょう。

この構造をAB方向に長い梁と考え，高さをｈ，画面奥行き方向は一定寸法ｔとします。
すなわちこの梁の断面は，ｈ×ｔの長方形とします。
（断面積Ｓ＝ｈｔ，画面内曲げに関する断面二次モーメントＩ＝ｈ^3ｔ／12）

するとこの梁は断面が上下対称のため，中立軸はABを結ぶラインとなります。
モーメントもこのラインに関して計算することになります。

ここまでは，あなたの認識との違いはないと思います。

さてあなたの問題提起について考えましょう。

まず(1)については，あなたの認識どおりです。

では(2)は？
あなたが間違っているのは
「壁からの反力が均一である場合」
というところです。
Ｆが中立軸上に及ぼすモーメントＭは，どこでも等しく，その値はＭ＝ＦＲとなります。
このモーメントはＡ点を通じて壁にも作用し，反力分布を発生させます。

モーメントＭによって発生する反力分布（言い替えれば応力分布）σＭは一様分布にはならず，ｈ方向に線形分布します。
上端におけるその値はσＭ＝－Ｍｈ／(２Ｉ)，下端においてはσＭ＝Ｍｈ／(２Ｉ)，中立軸上で０です。
壁にはモーメントのほか，Ｆによる圧縮力が直接作用するので，この圧縮応力σＣも考えなければなりません。
その値はσＣ＝－Ｆ／Ｓです。

要は，Ｆが圧縮荷重で，作用する位置が図の通り中立軸よりも上側だとすると，この梁の左端には，
上側で
－Ｍｈ／(２Ｉ)－Ｆ／Ｓの圧縮応力
下側で
Ｍｈ／(２Ｉ)－Ｆ／Ｓの応力
が発生します。（下側が引張と圧縮のどちらになるかは，Ｒの大きさ次第です。）

結論として，Ｆ×Ｒで発生したモーメントは，梁のどこにおいても消失することはありません。
壁からの反力は，決して均一ではないのです。

なお，「中立面より上に圧縮応力、下は引張応力が生じ、面積を掛ければ力になる」という考え方は，一般論としては間違いではないのですが，この場合には結論を導くための有用な情報にはなりません。

お礼

お礼が遅くなりまして、申し訳ございません。ずいぶん前にお礼申し上げていたつもりでしたが、エラーで送信されていなかったようです。改めましてお礼申し上げます。ありがとう御座いました。

回答No.1

AoDoc

下の図は、mn断面に曲げモーメントMxが作用するとき、この断面に生ずる応力を導くときの図です。断面には図のように、中立面より上に圧縮応力、下は引張応力が生じ、面積を掛けれ力になります。考え方として、圧縮応力による力の合力Fc、引張応力よる力の合力Ftとして、0点周りのモーメントとMxが釣り合うことから応力を導いています。σ=Mx/Z。実際は積分してモーメントの釣り合いを取っています。今の問題も、Mx=PR,固定部の力の分布を、梁の応力分布を面積を掛けて力に置き換えれば、同じ問題になります。

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