不静定梁のたわみ、反力の計算

質問

一端固定と一端支持の梁の中央に集中荷重Wをかけたとき、反力R1は5W/16、反力R2は11W/16、荷重点のたわみδは7Wl^3/768EI、と表すことができるみたいなんですが、どのように導出するのでしょうか？できるだけ詳しくお願いします。

回答No.2

smzs

不静定はりを解く場合、基本として、力の釣り合いだけでは条件が不足するので、何か条件を追加しなければならない、ということはおわかりですよね。で、その追加する無条件として、変形に対する条件を用います。＃１様のご回答は、これを、最も基本に忠実に示しています。

　簡単に考えるなら・・次のようにしてみてください。
片持ちばり（静定）の、先端のたわみは計算できますよね。そこで、解きたい梁と同じ長さの片持ちばりを考えます。
(1)片持ち梁の中央に集中荷重Ｗが作用したときの先端のたわみd1を求める。
(2)片持ち梁の先端に上向きに大きさＸの集中荷重が作用したときのたわみd2を求める。
　d2の中には、当然、Ｘが未知数のまま入っています。
(3)解きたい梁は、実際には先端は支持されているので、先端ではたわみはゼロ。つまりd1－d2＝0
　これで未知数Ｘが求まります。これが、支持端の反力になります。後は、中央に下向きにＷ、先端に上向きにＸという荷重が作用している片持ちばりを計算すれば、求める解が出てきます。

上の例では、未知数として支持端の反力を取りましたが、もちろん、固定端のモーメント反力を未知数とすることも出来ます。この場合は、単純梁について、
(1)中央にＷが作用したときの固定端（となる予定のヒンジ端）のたわみ角を求める。
(2)固定端（となる予定のヒンジ端）に未知のモーメント荷重Ｘが作用したときの固定端（となる予定のヒンジ端）のたわみ角を求める。
(3)　実は固定端ではたわみ角はゼロなので、(1)と(2)のたわみ角を（符号も考慮した上で）足してゼロとおけば、未知数Ｘが求まります。
この二つは、余力法というテクニックです。

なお、３連モーメント法など、不静定梁を解く公式を知っていれば、すぐ式をたてることも出来ます。

回答No.1

rabbit_cat

梁の長さをL（小文字だと見にくいので），固定端をx=0，支持端をx=Lとします．
符号の定義は文章では面倒なので適当に考えてください．
支持端の反力をR1，固定端の反力をR2，として
まずは，釣り合いの式
　R1 + R2 = W　… (1)
固定端のモーメントをM2，とすれば，
モーメントの釣り合いの式から
　R1*L/2 = R2*L/2 + M2 … (2)
位置xでの曲げモーメントをM(x)とすれば，
　x<L/2で M(x) = R2*x + M2
　x>L/2で M(x) = R2*x + M2 - W(x-L/2)
位置xでの梁のたわみをw(x)として，
梁のたわみ方程式より（これは既知ってことでいいですかね）
　　w''(x) = -M(x)/EI
境界条件は，位置x=0は固定端だから，たわみ角・たわみがともに０，位置x=Lは支持端なんで，たわみ０ってことで，
　　w(0) = w'(0) = 0
　　w(L) = 0
の３条件です．
w(x)式は２階微分方程式なんで，とりあえず w(0) = w'(0) = 0 の条件だけを使って，この微分方程式を解くと，
　　x<L/2で w(x) = -1/(6EI)*(R2*x + 3*M2)
　　x>L/2で w(x) = -1/(48EI)*[L^3*W - 6L^2*Wx + 12LWx^2 + 8x^2{3*M2 + x(R2 - W)}]
となります．
このとき，微分方程式をとくときに無視した境界条件は w(L)=0 は
　　24*M2+8L*R2-L*W = 0 … (3)
と表されます．
で，(1)，(2)，(3)を未知数，R1，R2，M2について解くと，
　　R1 = 5W/16
　　R2 = 11W/16
　　M2 = -3LW/16
となって，R1での反力，R2での反力が求まります．
また，荷重点でのたわみw(L/2)は，
　　w(L/2) = 7L^2*W/768EI
となることが確認できます．

お礼

どうもありがとうございました！！とても参考になりました。