正方行列の対角化

質問

大学で計画数学を履修しているのですが
わからない部分があります。
授業でやったのですが、時間がないとのことで
早々に進んだ部分です。

対角化可能がどうか調べる問題で

A=16 -18 15
0 -1 -1
-10 12 -9

Aの固有値1.2.3
固有ベクトル　α＝16/5 β＝9/2　γ＝ 6
1　　　　1 1　
-2 -3 -4

Aの固有値と固有ベクトルの求め方はわかるのですが

その後の

P＝16 9 6
5 2 1
-10 -6 -4
とおけば対角化可能である

の部分がわかりません。

Pはどのように出したのですか？

1 0 0
0 2 0
0 0 3
と対角になるとわかるにはどうすればいいのですか？

ネットでもいろいろ調べましたが
その部分が省略されていてわかりませんでした。
どなたか教えてください。

回答No.1

KI401

固有値１に対応する固有ベクトルがα。２はβ、３がγ
それぞれ並べてかくと、こうなる。
　Aα=1α
　Aβ=2β
　Aγ=3γ
こいつを一まとめにすれば、次のような一つの行列の積の式にできる。
A[α,β,γ]=[α,β,γ]*[[1,0,0],[0,2,0][0,0,3]]
で、P:=[α,β,γ]とすれば、AP=PB ⇔ P^1AP=B （Bは1,2,3の並んだ対角行列）

このように、固有ベクトルを並べて作った行列が変換行列になる。
今の場合、α=[16/5,1,-2]だが、
これは別にα=[16,5,-10]でも同じこと。当然。
なのでP＝[[16,9,6]
[5,2,1],
[-10,-6,-4]]でも変換行列になる。（変換行列は複数ある。）

まとめ。
変換行列は固有ベクトルを並べたもの。
対角化行列は固有値を対角成分に並べたもの。