球の表面積（途中過程もお願いします。)

質問

半径がaの球を書きます。中心は原点にとって下さい。そこから積分を使って球の表面積を出して下さい。途中過程を宜しくお願いします。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

●一般に、回転体の表面積を求める問題と考えましょう。
滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx　(dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、２点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と(x+dx,f(x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分したものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
さて、この線分をx軸のまわりで回転させて作った円環の面積をs(x)dxとすると、（高次の無限小を無視して）円周の長さは2πf(x)、円環の幅がv(x)dxだから、
s(x)dx = 2πf(x)v(x)dx
従って
s(x)=2πf(x)v(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}
となります。
これをx=aからx=bまで積分すれば回転体の側面の面積Aが得られる。
A = integral{x=a～b} s(x) dx

●では球面の場合。
f(x)=√(r^2-x^2) (r>0, x∈[-r,r])
の場合はどうかと言いますと、
f'(x)=df/dx=-x/√(r^2-x^2)=-x/f(x)
だから
s(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}=2πf(x)√{1+ (x^2)/(f(x)^2)}
　=2π√{(f(x)^2)+ x^2}=2π√{(r^2-x^2)+x^2}=2πr
面白いことに、s(x)はxに依らない定数になってしまいます。そして
A = integral{x=-r～r} s(x) dx
　= integral{x=-r～r}(2πr) dx
　= (2πr)(2r) = 4π(r^2)

●同じ事を極座標でやってみましょう。x=r sinθ, y=r cosθとします。
θからθ+dθまでの円弧の長さは(r dθ)。これをx軸のまわりで回転させて作った円環の半径はy=r cosθだから、この円環の面積をa(θ)dθとすると、幅(r dθ)×長さ(2πy)で表される。つまり
a(θ)dθ=2π(r cosθ)(r dθ)=2π(r^2) cosθ dθ
従って表面積Aは
A = integral{θ=-π/2～π/2} a(θ)dθ
　= 2π(r^2) integral{θ=-π/2～π/2} cosθdθ
　= 2π(r^2) [sin(π/2)-sin(-π/2)]
　= 2π(r^2) [1-(-1)]=4π(r^2)

これならどうでしょう。

補足

＞滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx　(dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、２点
(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と
(x+dx,f (x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分した
ものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
とありますが、2点で近似できるとは側面積の事ですか?それから、お手数ですが「即ち～」からどうしてそう言えるのか教えて下さい。

回答No.8

Umada

f(x+dx)をf(x)+f'(x)dxで近似してよいのは、これは微分学の根本原理です。
もともとの微分係数の定義に戻ってみてください。
f(t)は滑らかな関数だとして、
f(t)のt=xにおける微分係数f'(x)は
　f'(x)=lim(Δx→0)[{f(x+Δx)-f(x)}/Δx]　　　(1)
で定義されますよね。
以下ちょっとインチキくさい説明で失敬。(専門の方、誤りがあったら遠慮なくご指摘下さい)。
Δxは0に限り無く近いが0ではないので、(1)を変形して
　Δx f'(x)=f(x+Δx)-f(x)　　　(2)
が、Δx→0の極限で成り立ちます。
移項すれば
　f(x+Δx)=f(x)+Δx f'(x)　　　(3)
ですね。
積分の時の厚みdxは無限小ですから、(3)に従ってf(x+dx)をf(x)+f'(x)dxで近似できるわけです。

教養学部時代、解析学の教授が「微分とは1次近似の学問なり」との名台詞(?)で最後の授業を締めましたが、実に含蓄のある言葉だと今でも思っています。

回答No.7

Umada

stomachmanさんの、一般の場合まで拡張しての補足で十分すぎるほどと思っていたのですが、これでも納得頂けないとなると大変ですね。

まずstomachmanさんがおっしゃっている「線分で近似」の意味ですが、これは「滑らかな関数f(x)を、区間xからx+dxについて線分で近似する」ということです。側面積そのものを近似するのではありません。
こやつを軸の周りに回転させたことで張られる面の面積を求めてみましょう、という論理展開なのですが理解されてますか?

何となればもう少し形状の単純な図形について考えてみましょう。
　線分　y/r+x/h=1 (ただし0<=x<=h　r, hは正)　　　(1)
をx軸周りに1周した場合に作られる円錐面の面積を求めてみます。
答えから先に言えばπrh・(1+(r/h)^2)^(1/2)です。

区間x～x+dxにおいてこの関数を線分で近似すると(もとから線分ですから近似も何もないのですが)
　(x, r(1-(x/h)), (x+dx, r(1-((x+dx)/h))
の2点の間を結ぶ線分になります。その長さは2点間の距離の公式から直ちに
　((dx)^2+((r/h)・dx)^2)　　　(2)
の平方根であることが分かります。当然
　dx(1+(r/h)^2)^(1/2)　　　(3)
になります。これが円環(私が「皮」と表現したもの)の幅になります。
周囲長は2πy(x)ですから
　2πy(x)=2πr(1-(x/h))　　　(4)
(3)と(4)を掛けて、0からhまでxで積分すれば
　πrh・(1+(r/h)^2)^(1/2)　　　(5)
になるはずです。
もしkeroroさんが最初に試された方法(円環の幅をdxと置く)なら最後の答えは単にπrhにしかならず、因子(1+(r/h)^2)^(1/2)だけ違ってきます。

円環の幅はxの増分dxに対して定数倍((1+(r/h)^2)^(1/2))だけ常に大きいことをご理解下さい。ここがポイントです。
今の場合は円環の幅とdxの比は一定でしたがxに依存して変化してもよいのです。
stomachmanさんはこれを一般化して、円環の幅は√{1+ f'(x)^2}倍になると説明されているわけです。

補足

私はstomachmanさんのここの部分が分からないのです。
＞２点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と
(x+dx,f(x)+f'(x)dx )を結ぶ線分です。
f(x+dx)がf(x)+f'(x)dxになる所を説明して下さると幸いです。
それから、近似の事については分かりました。そこもひかかっていたもんで。

回答No.5

Umada

以下の説明で、誤った計算で出てくる値を間違えていました。訂正します。
(誤)aπ^2
(正)a^2・π^2
上はどうみてもディメンジョン合いませんよね、失礼しました。

回答No.4

Umada

既にametsuchiさん、dragon-2さんが答えて下さっている通りなのですが・・・
円周を積分しても表面積にならない!?　とすると以下に指摘する箇所を間違えている可能性が高いです。

3次元空間にその球を置きます。積分の方向はz軸に取ることにしましょう。
任意の平面z=tとz=t+dzでこの球の一部を薄く切り出します。(もちろん、-a<=t<=a)
切断面は当然円になりその周長は
　2π(a^2-t^2)^(1/2)　　　(1)
ですね。
微小な厚さdzを掛けこれを-aからaまで積分すれば球の表面積に、簡単じゃないか・・・おっと、ストップ!

ここが間違えやすいところです。
微小な厚さは確かにdzなんですが、寄せ集めなくてはいけないのは外皮の周囲長×皮の幅です。皮の周囲長は(1)でよいのですが皮の幅はdzではありません。
一定の厚さdzで切り出しても皮の幅はzの値に対し
　a・dz/((a^2-z^2)^(1/2))　　　(2)
と変化します。zがaに近付くほど、同じdzに対して皮の幅が太くなります。(図を描いてみて下さい)
正しくは(1)(2)の積を-aからaまで積分することになります。答えは当然4πa^2が得られます。

keroroさんのおっしゃる「円周を積分した値」というのはいくつでしょう?
もしaπ^2(真の値より少し小さい)なら、上述のように「皮の幅」を間違えています。

お礼

お礼というよりは訂正です。
私が補足の所で4π＾2a＾2と書きましたがπ＾2a＾2の誤りです。(多分)
(2)の所の説明を宜しくお願いします。

補足

(2)式の所をもう少し詳しく教えて下さい。
ちなみに円周を積分して求めると4π＾2a＾2となります。

回答No.3

dragon-2

よく分からないのですが
半径ａの球で中心が原点（０，０）とします。今、半径ｒの円周をｘ軸周りで考えます。（０≦ｒ≦ａ）　
　中心角θ　とするとｒ＝ａsinθ
　この円周は　２πｒ＝２πａsinθ
　これを　０からａまで定積分した２倍が球の表面積になりますが。
　だから、θは０～πとなるのですが。

補足

えーっと、聞いた話によると円周を積分すると表面積になるというのは違うそうです。(計算してみましたが)
もし、4πa＾2になるのでしたら途中過程を詳しくご説明いただけると有り難いです。

回答No.2

ametsuchi

既に本質的に同じ回答がでているので蛇足ですが...。

地球を考えてください。経線、緯線で切られていますね？これを想像してください。

□東西方向微小角ｄθあたりの東西方向長さ：a*cos(φ)*ｄθ
□南北方向微小角ｄφあたりの南北方向長さ：a*ｄφ

従ってこの面積 ：a^2 * cos(φ) *ｄθ*ｄφ

これを東西方向と南北方向で２重積分すれば答えはでますね？あとはご自分で！

回答No.1

sesame

同様の質問と回答がありました。参考になりますか？

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=46155

補足

球の表面積は4πr＾2ですよね。これを求める過程の方が欲しいのですが。
もちろん球の体積を微分するのは無しで。
よろしくお願いします。