円を直線で切り取った部分の面積の求め方。

質問

積分の知識を失って早や数年、どなたか以下の面積の求め方を教えてください。

円：原点Ｏを中心とする、半径ａの円
直線：Ｘ＝ｋ（－ａ＜＝ｋ＜＝ａ）

この直線によって切り取られる円の左側の面積Ｓをｋであらわしたいんです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

hisahisa · ベストアンサー

積分で解くのでしたら、以下のように解けばよいのではないでしょうか？文だけ読んでも解りにくいので、紙に書き出してみて下さい。図も描いてみて下さい。

まず、円は原点中心、半径ａの円なので、X軸よりも上側の円周は、次の式で表されます。
x^2＋ｙ^2＝ａ^2　移項してｙについて解くと　ｙ＝√（ａ^2－ｘ^2)　（今はｘ軸の上側だけ考えているので『±』は付けません)

よって，面積Sを求める積分の式は
S＝2∫(-a～k)｛√（ａ^2－ｘ^2)｝dx　　　・・・(1)　（-aが下で，kが上です)　（ただの積分だと上だけ求めて終わりになってしまうので、2倍します)

ここで、置換積分をします。x＝ａ・cosθ　・・・(2)　と置いて，すべてをθで表すと、
√（ａ^2－ｘ^2)＝√(ａ^2－ａ^2・cos^2θ)＝ａ・sinθ　(sin^2θ=1-cos^2θより)
x=-aのとき，-a＝ａ・cosθより，　θ＝π　
x=k のとき，ｋ＝ａ・cosθより，　θ＝arccosθ(k/a)　(cosの逆関数)
(2)の両辺をθで微分すると，dx/dθ=－a・sinθ　　よって，dx＝－a・sinθ・dθ

以上より、(1)式は、次のように変形できます。

S＝2∫(π～arccos(k/a)）a・sinθ(－a・sinθ・dθ）
＝－2a^2∫(π～arccos(k/a)）(sinθ)^2dθ
＝－a^2∫(π～arccos(k/a)）(1-cos2θ)dθ　　(cos2θ=1－2(sin2θ)^より)
＝a^2[θ－(1/2）sin2θ］(arccos(k/a)～π)　 (－を消して積分区間を逆転)
＝π・a^2－a^2・arccos(k/a)＋(1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)}
＝π・a^2－a^2・arccos(k/a)＋k√(a^2-k^2)　　

※ (1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)}　は，a=a、頂角＝2・arccos(k/a)の二等辺三角形の面積を表しています。
要は、円にx=kの直線を引いて，その交点(P、Qとおく）と原点Ｏを結んだときの二等辺三角形ＯＰＱ。
三平方の定理でＰＱの距離を求めると底辺ＰＱ＝2・√(a^2-k^2)，高さは　ｋ　です。
よってΔＯＰＱ＝(1/2)・ｋ・2・√(a^2-k^2)＝k√(a^2-k^2)

nagataさんの考え方は正しいと思いますが、扇形の面積は　2・π・a^2・｛arccos(k/a)/2π｝＝a^2・arccos(k/a)　です。
たぶん，(中心角/360度)のところで，360度＝πとしてしまったミスなのでは・・・。360度＝2πなので、こうなると思います。

あと、－ａ≦ｋ≦０のときも、nagataさんの式は成り立ちます。ｋがマイナスだと、円の左側の面積＝円ー扇形ー三角形 になりますが，
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)　の式で　+k√(a^2-k^2)　の部分は符号が(－)になるので，結局引いてるここと同じになります。

長々と申し訳ありませんでした。

お礼

丁寧な解答を頂き誠に有難うございました。助かりました。

回答No.1

nagata

0<k<=aの時
円の左側の面積＝円ー右側の面積
円の左側の面積＝円ー(扇形ー三角形)
円の左側の面積＝円ー扇形+三角形
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)