球の表面積

質問

（半径rの球の表面積）＝∫（-ｒ,ｒ）２π√（ｒ＾２-ｘ＾２）ｄｘとならないのはなぜですか？
体積の場合とはどこが違うのでしょうか？

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。すいません、間違いました。

　　Ｓ＝∫g(x)・√(1＋f’(x)^2)・dx　（f’(x)＝df/dx）

でした。球面の、x軸に関する切り口に沿った長さs(x)は、

　　s(x)＝∫√(1＋f’(x)^2)・dx

なので、sの線素dsは、

　　ds＝√(1＋f’(x)^2)・dx

になり、

　　Ｓ＝∫g(x)・ds＝∫g(x)・ds/dx・dx

になる、という意味です。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。
「どこに沿って」積分するかがポイントです。

以下、ご参考まで。
http://okwave.jp/qa/q6484800.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6484800.html

回答No.2

ereserve67

積分される

2π√(r^2-x^2)dx

のdxの部分が違います．dxはx軸に平行な線分です．そうではなくて，円x^2+y^2=r^2のx～x+dxの部分にある部分dsでなくてはなりません．P(x,√(r^2-x^2))における接線の傾き

(√(r^2-x^2))'=-x/√(r^2-x^2)

から，Pから円に沿ってx軸方向にdx動くとy方向には

dy=(√(r^2-x^2))'dx={-x/√(r^2-x^2)}dx

変化すると考えてよく，

ds^2=dx^2+dy^2

=dx^2+[{-x/√(r^2-x^2)}dx]^2

=dx^2{1+x^2/(r^2-x^2)}

=dx^2r^2/(r^2-x^2)

∴ds=dxr/√(r^2-x^2)

これは|x|が小さい時はほぼdxになりますが，|x|が大きくなるとdxより長くなります．これは球の表面が曲がっているからです．

修正された式で計算すると，

∫_{-r}^r2π√(r^2-x^2)ds

=∫_{-r}^r2π√(r^2-x^2)dxr/√(r^2-x^2)

=∫_{-r}^r2πdxr=2πr∫_{-r}^rdx

=2πr(r+r)=4πr^2

と正しい値がでてきます．

体積の場合は薄い円板π{√(r^2-x^2)}^2dxを積分しますが，球体の表面が曲がっていることの効果は面積π{√(r^2-x^2)}^2の部分に繰りこまれているので，dxは円板の幅となるだけです．ここでdsを使ったら正しい体積は求まりません．

回答No.1

noname#221368

＞（半径rの球の表面積）＝∫（-ｒ,ｒ）２π√（ｒ＾２-ｘ＾２）ｄｘ

という考えは、球面を切り開いて平面に張り付けて面積を計算しよう、という考えと同じになります。ところが球面は平面へは展開できず、切り開いても湾曲しちゃうんですが、それでも強引にぺしゃんこにすれば面積は求まるというのが、トリチェリーの定理です（だったと思う）。でもその時の積分区間の長さは、2rではなく、πrですよね？。その違いです。

　一般に3次元曲面の面積Ｓは、x軸での切り口のグラフが、z＝f(x)と表されるとき、各xでのy方向への切り口の長さがg(x)のとき（あなたの２π√（ｒ＾２-ｘ＾２）です）、

　　Ｓ＝∫g(x)×d/dx(√(1＋f’(x)^2))dx　（f’(x)＝df/dx）

になります。わかりやすい例は、円錐の側面積です。円錐は切り開くと、そのまま平面に張りつきます。比較してみて下さい。