曲面積

質問

半径aの球の表面積（原点中心）を求めるとき、方程式が x^2+y^2+z^2=a^2となるのがまずわかりません。
次に片方の方程式がｚ＝√（a^2-x^2-y^2）となるのもわかりません・・・なぜですか？

回答No.1

kamakurabakufu · ベストアンサー

円（二次元）は、球（三次元）の断面であり、特殊な場合であることを考えれば、理解しやすいのではないでしょうか。つまり、x=0の時にはy^2+z^2=a^2。y=0の時にはx^2+z^2=a^2。Z=0の時はx^2+y^2=a^2です。これを考えると、球を表す方程式がx^2+y^2+z^2=a^2となることが納得しやすいと思うのですがどうでしょうか。
二番目の質問は、z以外の項を右に移したあと、両辺にルートをかけてあげるとｚ＝√（a^2-x^2-y^2）になりますよ。

お礼

納得できました。ありがとうございました。

補足

その後計算したのですが・・・球の表面積は
2∬a/√（a^2-x^2-y^2）dxdyなんですが、その範囲がx^2+y^2≦a^2　というのがわかりません。教えてください。

回答No.2

kamakurabakufu

うお、二重積分。僕は文系でやったことないのでよくわからないのですが、、、式の形からするに半球の表面積を求めてから、それを２倍してるんじゃないでしょうか？
つまり、問題の球はz=0の平面で２つに分けることができます。
　x^2+y^2+z^2=a^2　但し0≦z・・・（１）
　と
　x^2+y^2+z^2=a^2　但しz≦0・・・（２）
それで、（１）の表面積を求めて２倍したんだと思います。0≦zにｚ＝√（a^2-x^2-y^2）を代入して整理すればx^2+y^2≦a^2になります。
うーん、間違ってるかも、、、かなりいい加減な説明ですみません。。。