球を平面で切断したときの表面積

質問

半径rの球があります。この球の表面積は4πr^2です。
では、この球を球の中心Oからaの距離（0<a<r）で垂直に平面で切断したとき、大小２つの図形に分かれますが、小さいほうの図形の曲面部分の表面積はどうなるんでしょうか？

半球の場合、曲面部分の表面積は2πr^2となりますが、上記のように任意の位置できった場合のうまい算出法が見つかりません。
数学の苦手な人にも説明できるよう、中学生レベルの知識で解けないかとも考えたのですが、やはり積分を駆使しないとダメなんでしょうか？

解法のヒントでも良いので教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

立体角の単位はステララジアン[sr]で、半径rの球の表面積を半径の二乗で割ったもので立体角が定義されます。
半径rの球の表面積は4πr^2 ですね。
一点の回り全空間の立体角は、球の全表面を半径の二乗で割って、4πr^2 /r^2 = 4π[sr]です。
球の部分表面積は立体角にr^2を掛ければ球の表面積になります。
以上が理解できていれば、求めたい球面の立体角と全球面の立体角４πの比から球面の面積が求められます。特に積分は必要としませんね。
#1さんの回答にあるように、求めたい球の表面の立体角に半径の二乗を掛けてやれば、求めたい部分球の表面積になりますね。

立体角の定義をしっかり覚えてください。そうすればこういった問題も比較的簡単に解けるようになります。

ついでに平面角のラジアン角の定義も確実に覚えておいてください。役立つと思います。
半径rの全円周2πrを半径rで割ったのが一点の回りの全平面のラジアン角2πです。度単位の360°の角度に対応します。円弧の長さはラジアン角[rad]に半径を掛けると円弧の長さになるということを覚えておいてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「ステラジアン」という立体角の単位は聞いた事があるのですが、定義がうろ覚えでした。
球の部分表面積は立体角にr^2を掛けるだけでよかったのですね。
曲線、曲面というと難しく考えがちですが、円や球に関わる問題は比較的簡単に解けるのですね。基本的な図形なので、定義や公式をもう一度よく復習してみようと思います。

回答No.1

rabbit_cat

積分を駆使？しないとだめです。

ただ、すでに誰かが積分してくれた、立体角の公式というものがあります。
http://www.cybernet.co.jp/optical/course/optwords/ra1.shtml
広がり角をθとしたときの立体角は、
Ω[sr] = 2π(1－cosθ)　
であらわされます。

中心から距離aの平面で切断したときの、小さいほうの広がり角θは、
tanθ=a/r
ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考URLにある立体角の公式、大変参考になりました。

なお、
>広がり角をθとしたときの立体角
　→広がり角の半角をθとしたときの立体角、
>小さいほうの広がり角θは、tanθ=a/r
　→小さいほうの広がり角の半角θは、cosθ=a/r
ではないでしょうか？