球の表面積・体積

質問

高校生のものです。
球の問題を解いているときに、球の表面積の公式を忘れてしまったので自力で出そうとしました。
球の半径をrとすると、球の表面積は4πr^2です。
僕は積分して解こうと考えました。
まず球をまっすぐスライスして(たまねぎみたいに)そのときの円の半径をaとでもしてその円周を積分区間rから0までして2倍にしました。
すると2∫（2πa）da=2πr^2となって本来のものの半分になります。
同様に体積も円の面積をだして積分すると半分の値になってしまいます。
どこにまずいところがあるのでしょうか？

回答No.2

owata-www

今回は
x^2+y^2+z^2=r^2
の球を考えます。

zを固定して考えると、あるzの時の断面は
x^2+y^2=r^2-z^2となります。
するとこの円の半径は(r^2-z^2)^(1/2)になります
よって、微小な表面積は2π(r^2-z^2)^(1/2)*dz　…＊
これを積分すると…
ではなくて

微小な厚さはdzですが、寄せ集めなくてはいけないのは外皮の周囲長×皮の幅です。皮の周囲長はこれでよいのですが皮の幅はdzではありません。
一定の厚さdzで切り出しても皮の幅はzの値に対し
a・dz/((a^2-z^2)^(1/2))　　　
と変化します。zがaに近付くほど、同じdzに対して皮の幅が太くなります。(図を描いてみて下さい)

これをdzの代わりに＊に代入すれば求まります

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

おぉ、私も若かりし頃、同じようなことをしてました。

＞＞＞まず球をまっすぐスライスして(たまねぎみたいに)そのときの円の半径をaとでもしてその円周を積分区間rから0までして

実は、それだとまずいのです。
円周の長さを使うこと自体は問題ないのですが、
円周に「太さ」を与えないといけません。
まっすぐスライスしていったとき、赤道においてはまっすぐの太さ（包丁と垂直方向の太さ）になるのですが、
赤道以外のところでは、斜めの太さになります。
つまり、
あなたの考え方ですと、赤道以外のところの太さが細すぎるということになるわけです。
ちゃんとした太さにするには、三角関数（sin か cos）で割り算することになります。

なお、
私も、あなたと同様、最初スライスしていく方法で考えていましたが、
緯度、経度という角度座標を使う方法も考えました。
これについては、３年前のＱ＆Ａで私が回答したものがありますので、
よろしければ、参考にしてみてください。
これです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2004787.html

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
難しいですね。