行列の問題

質問

３問解けないので、教えてください。
1.次のベクトルa1,a2の張る部分空間を解空間としてもつような同次連立1次方程式を1つ求めよ。

(1) a1=(1,-1,2) a2=(2,1,-1)
(2) a1=(1,-2,-3,1) a2=(1,1,-2,-2)

2.R^3またはR^4の次の部分空間の次元と1組の基底を求めよ。

(1) {(x1,x2,x3)| x1=3x3}
(2) {(x1,x2,x3)| 2x1-x2+5x3=0}
(3) {(x1,x2,x3,x4)| x1+x2+x3=3x2+2x3+x4=0}

3.R^3の次のベクトルの生成する部分空間の次元が2となるようにaの値を定めよ。

a1=(1,3,a) a2=(2,5,1) a3=(1,2a,5) a4=(1,5,4a)

よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

そもそも、ベクトル空間ってのは、「一次結合」について閉じている集合のことを言う訳で…
ベクトル空間の各元を一次結合で表すときに、その係数がひと通りに決まるようなベクトルの
組を「基底」と言うのです。ベクトルと成分表示が一対一対応する ということです。

＞ (1) a1,a2,...,arは１次独立

は、係数が２組以上存在しない条件、

＞ (2) V=<a1,a2,...,ar>

は、係数が１組は存在する条件です。

例えば、{ (x1, x2, x3) | x1 = 3・x3 } については、
(x1, x2, x3) = (3・x3, x2, x3) = x3・(3,0,1) + x2・(0,1,0) だから、
x3, x2 が、そのような「係数」であり、{ (3,0,1), (0,1,0) } が基底の一例になります。

…と、直感的には、こんな感じですが、
上記の式変形 x3・(3,0,1) + x2・(0,1,0) から、成分表示 (x3,x2) が一意的であることを
示すのには、ちゃんとした証明が必要です。そのための形式が、定義の (1)(2) なのです。

回答No.2

Tacosan

1. 「同次連立 1次方程式」ってわかりますか?
2&3. 「次元や基底の意味がわからん」というなら調べろ. 調べてそれでもわからないというなら, どこまで調べたのか書け.

補足

同次連立 1次方程式は分からないです。

次元
R^nの部分空間V({≠0})の基底を構成するベクトルの個数をVの次元と言う。

基底
VをR^nの部分空間とする。Vに属するベクトルa1,a2,a3,...,arが２条件
(1) a1,a2,...,arは１次独立
(2) V=<a1,a2,...,ar>
をみたすとき、{a1,a2,...,ar}をVの基底という。

以上のことを調べましたが、抽象的でよく分からなかったので、質問させていただきました。

回答No.1

Gab_km

ところで、この３問はどこまでできましたか？
途中でもいいので、できたところまで書いた方が、回答はつきやすくなると思います。

補足

1はa=(xi)とおいて、k1*a1+k2*a2=aが解k1,k2を持つ条件？だと思うんですけど、解き方がよく分かりません・・・。

2と3は次元と基底の意味が分からなくて、解くことが出来ませんでした。

本当に教えてください。よろしくおねがいします。