行列教えてください

質問

2 -4 1 -2
　行列A　＝[ -3 6 -1 4 ]
　　　　　　　-1 2 0 2
　　　　　　x1　　　　　　　　　　0
　　　x　　=[x2]　　　　　　0 = [ 0 ]
　　　　　　x3　　　　　　　　　　0
　　　　　　x4

のとき 連立１次方程式Ax=0の解xを求めてください。
x4を任意の数とおくと思うのですがその後ができません
教えてください。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

とりあえず展開し、3つの連立方程式を立て
あとは地道に代入して計算を行います。

2x1-4x2＋x3-2x4=0
-3x1＋6x2-x3＋4x4=0
-x1＋2x2＋2x4=0
ですから
第三式よりx1をx2とx4であらわし
それを、第1式に代入し、x3をx2とx4であらわし
x1とx3を第2式に代入すると、
x2=-x4となり、結果x1=0
x3は任意定数c
それから、x2とx4もcを用いて表せます。
独立な値は、x1とx3のみということになります
もちろん、どれを独立にとってもかまいませんが
結果的には、独立なのは2つになるでしょう

お礼

ありがとうございました。ちゃんと解くことができました。

補足

たすかりました。
自分は行列Aを消去法で
　　－１　２　０　２
　　　０　０　１　２
　　　０　０　０　０
にしたのですが、これを用いた場合は
x4をcとおけばいいと思うのですが、そのあとの計算ができません。よろしければここからの展開も教えてください

回答No.5

take008

> 自分は行列Aを消去法で
> 　　－１　２　０　２
> 　　　０　０　１　２
> 　　　０　０　０　０
> にしたのですが、

これを方程式に戻してみると，３つ目は無意味で
　-x1+2x2+2x4=0
　x3+2x4=0
ですから，x4=d とおくだけでは足りません。
だからと言って x3=c とおくのはダメです（x3=2d ですから）。
x1=a または x2=b とおきます。

回答No.4

KanjistX

答えはもう出てますが、任意定数設定まで含めた解法のアルゴリズムは以下のようにまとめられます。参考になさってください。

(1)ピボットが1になるように掃き出し法を行う（ガウス・ジョルダン法）。
[ 1　-2　 0　-2 | 0]
[ 0　 0　 1　 2 | 0]
[ 0　 0　 0　 0 | 0]
[ 0　 0　 0 　0 | 0]

(2)i行(i=1..n)のピボットがi列にないときはすべてのピボットがi行i列（対角線上）に並ぶように行交換を行う。
[ 1　-2　 0　-2 | 0]
[ 0　 0　 0　 0 | 0]
[ 0　 0　 1　 2 | 0]
[ 0　 0　 0　 0 | 0]

(3)このとき一般解は以下のように求まる。

i行i列が0である(1でない)第i列を列ベクトルとして取り出し、第i成分以外については符号を反転させ、第i成分には1をおく。

第2列
[-2]　　　[ 2]
[ 0]　→　[ 1]
[ 0]　　　[ 0]
[ 0]　　　[ 0]

第4列
[-2]　　　[ 2]
[ 0]　→　[ 0]
[ 2]　　　[-2]
[ 0]　　　[ 1]

このとき上で取り出して手を加えた列ベクトルは一般解をあらわす解空間の基底となっているので、一般解は以下のようにあらわすことができる。

[x1]　　　[ 2]　　　[ 2]　 [ 0]
[x2]　= s [ 1] +　t [ 0] + [ 0]
[x3]　　　[ 0]　　　[-2]　 [ 0]
[x4]　　　[ 0]　　　[ 1]　 [ 0]

(s,tは任意定数)

上式の右辺第三項は掃き出し後の定数項部分です。

地道に任意定数を設定するより素直に簡潔な一般解が一発で書けるようになります。
難しいことではないので、この方法が不思議に思ったら証明するなり確かめてみてください。
「ピボット」という言葉を使ってないかもしれないので参考ＵＲＬを載せておきます。

参考URL：

http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/sd1-02m1-f.pdf

回答No.3

noname#21219

訂正。
x3＋2c=0,よってx3=-2cです

回答No.2

noname#21219

掃きだし法を使ったということですよね？
掃きだし法を使う時は、右辺の数の列ベクトル
も行列の右端に加える必要があります。
この場合は、たまたま0ベクトルなのでその必要
はありませんけど。また、未知数が4つあるので
本当なら00000という行も一番下に加えます。
つまり、
2 -41-2 0
-3 6-1 4 0
-1 2 0 2 0
0 0 0 0 0とするのが本当なのです。
それで、この行列の左の4×4行列を単位行列にしたとき、解が求まっていることになります。
さて　　－１　２　０　２
　　　　０　０　１　２
　　　　０　０　０　０
ともとまれば、本当なら一番下に0000もあるので
確かにx4=c(任意定数)とできます
あとは、x3＋c=0,-x1＋2x2＋2c=0です
x3=-c,x1=2(x2＋c)、これで終わりです。
つまり、もう一つ独立な定数を選ぶ必要があります。
x2=dとしましょう。x1=2d＋2c,
よって、x1=2(c＋d),x2=d,x3=-c,x4=cとなります。
一見♯１の結果と違うようですが、
計算してみると全く同じになります。