v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R

質問

v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R3の2次元部分空間の正規直交基底を求めよ。

という問題なのですが、「Rnのm次元部分空間」（ここでは、R3の2次元部分空間）はどのようにもとめればいいのでしょうか。また、問題の詳細な解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

post_iso · ベストアンサー

シュミッドの直交法

v1およびv2の線形結合から、正規直交系のベクトルV1,V2を作る方法です。
※ベクトルは何本あっても大丈夫です。

まず、v1はそのまま正規化して
V1=v1/|v1|
とします。
次に、v2に対して
V2={v2-(v2,V1)V1}/|v2-(v2,V1)V1|
と変換します。
このベクトルとV1との内積は
(V1,V2)=0
なので直交します。

もし、ベクトルが３本あったとしても
V3={{v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1}|v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1|
を作れば、V1,V2,V3は正規直交系です。

この問題の場合

V1=(0,1,1)/√2
V2={(1,1,0)-(0,1,1)/2}/|～|
=(1,1/2,-1/2)/|～|
=(2,1,-1)/√6

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧に解説していただき助かりました。

回答No.1

kabaokaba

まずは教科書を読みましょう．
普通の線型代数の教科書ならかならずでていますし，
こういう問題を出す授業ならば必ず扱うでしょう．

詳細な解き方も何もありません．
まずは教科書を読むだけです．

ヒント：グラム・シュミットの直交化法
まあ，ここまで一般化しなくても
基底の定義と内積がわかっていれば計算できます．

お礼

回答ありがとうございます。
大学の図書館に行って調べてみたいと思います＞＜。