行列の問題

質問

同次連立一次方程式が自明でない解を持つようなaの値を定める問題で、教科書を読んでいるとrankや未知数がこの問題を解けるカギだと思うのですがいまいちよくわかりません。
(a 1 1)(x) (0)
(1 a 1)(y)=(0)
(1 1 a)(z) (0)
どうやって導いていけばいのか教えてください。お願いします。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

連立方程式を行列で解くときは、
AX=Y
の形から、
X=(A-1)Y
と変形するんでしたよね。

つまり、Aが逆行列を持つことが、自明でない解をもつための条件です。

つまり、Aの行列式が０でないことが条件になります。

回答No.3

shibainumodoki

＃２です。
detA　とは　『Ａの行列式』のことです。
つまり、detA＝0 とは、(Ａの行列式)=0 ということです。

回答No.2

shibainumodoki

Ａをｎ次正方行列、Ｘ、Ｏを(ｎ×１)行列とします.
ただしＯの成分はすべて０とします。

同次連立一次方程式　ＡＸ＝０　について　detＡ≠０ならば、Ａの逆行列Ａ^(-1)が存在し、
　Ｘ＝Ａ^(-1)Ｏ＝Ｏ　となり自明解Ｘ＝Ｏしか持ちません。
よって　『ＡＸ＝０　が非自明解Ｘ≠Ｏもつ』⇔『detＡ＝０』となります。
このときrankＡ＝ｒ　とすれば、ｒ＜ｎでＡＸ＝０の解Ｘは、(ｎ－ｒ)個の自由変数が出てくるのではないでしょうか？

補足

detA=0とはなんでしょうか？