軌道角運動量の極座標表示

質問

軌道角運動量の各成分を極座標表示しようとしています。
結果は分かっているんですが、途中の計算が分かりません・・。
Ｌｘ＝-i*h/2π(y*∂/∂z　-　z*∂/∂y)で、
∂/∂x = (∂/∂r)(∂r/∂x)+(∂/∂θ)(∂θ/∂x)+(∂/∂φ)(∂φ/∂x)という変換の式を使うと思うのですが、
これを計算してもうまくいきません。
自分では、計算の途中で(∂r/∂x)=(1/(∂x/∂r))としているところあたりが間違っているのではないかと思うのですが、
この操作はだめなんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

e_o_m · ベストアンサー

＞ｒではなくθやφの場合は前述したような操作を行っても大丈夫なんでしょうか？

同様に
(∂θ/∂x)=1/(∂x/∂θ)、(∂φ/∂x)=1/(∂x/∂φ)、ｙやzもすべてダメです。
そのように、x,y,zに関する偏微分をr,θ,φに関する偏微分に直したい時はヤコビ行列の逆行列を使えば表せますが、3×3行列の逆行列を求めなければいけないので実用的ではありません・・・

tanφ=y/x
(tanθ)^2=(x^2+y^2)/z^2
をx,y,zで偏微分して地道にひたすら計算するのみです。

かなり大変ですのでやはり公式を覚えてしまうのがベストですね。
もしくは直行曲線座標におけるラプラシアンの公式と、ハミルトニアンと角運動量演算子の関係を覚えておけば、比較的早く導出することも可能です。

お礼

わかりました！ありがとうございます！
助かりました。

回答No.3

Jyaikosan

最初に極座標で計算してからデカルト座標に戻せば微分の計算は一切必要ありませんよ。

極座標r,θ,φ方向の単位ベクトルをE_r,E_θ,E_φとします。

位置ベクトルRと、運動量ベクトルPは極座標では

R=r*E_r , P=-ih/(2π)*∇=-ih/(2π)*[E_r*(∂/∂r)+E_θ*(1/r)(∂/∂θ)+E_φ*(1/rsinθ)(∂/∂φ)]

となります。

E_r×E_r=0 , E_r×E_θ=E_φ , E_r×E_φ=-E_θ

ですから、角運動量ベクトルLは

L=R×P=-ih/(2π)*[E_φ*(∂/∂θ)-E_θ*(1/sinθ)(∂/∂φ)]

となります。

E_θ,E_φを元のデカルト座標の単位ベクトルE_x,E_y,E_zで表わせば

E_θ=cosθcosφE_x+cosθsinφE_y-sinθE_z

E_φ=-sinφE_x+cosφE_y

なので、上のLの式に代入すれば

L=-ih/(2π)*[-E_x*(sinφ*(∂/∂θ)+cotθcosφ*(∂/∂φ))

+E_y*(cosφ*(∂/∂θ)-cotθsinφ*(∂/∂φ))+E_z*(∂/∂φ)]

を得ます。つまり

L_x=ih/(2π)*[sinφ*(∂/∂θ)+cotθcosφ*(∂/∂φ)]

L_y=-ih/(2π)*[cosφ*(∂/∂θ)-cotθsinφ*(∂/∂φ)]

L_z=-ih/(2π)*(∂/∂φ)

です。

お礼

なるほど・・・。わかりやすい方法ですね。
ありがとうございます！
助かりました。

回答No.1

e_o_m

＞自分では、計算の途中で(∂r/∂x)=(1/(∂x/∂r))としているところあたりが間違っているのではないかと思うのですが、
この操作はだめなんでしょうか？

その通りです。
r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)から
(∂r/∂x)=1/2*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*2x=x/r=sinθcosφ
とするのが正しい計算です。

1/(∂x/∂r)=1/(sinθcosφ)
からも
(∂r/∂x)≠1/(∂x/∂r)
だとわかりますね。

補足

e_o_mさんありがとうございます！
ｒではなくθやφの場合は前述したような操作を行っても大丈夫なんでしょうか？
お手数ですがよろしくお願いします。