軌道角運動量と軌道磁気モーメントの求め方

質問

至急回答お願いしたいです！
例えば波動関数φ=1/√3(|yz>+|zx>+|xy>)が与えられた時、軌道角運動量と軌道磁気モーメントはどのように計算しますか？途中式も含めて教えてください！
また、例えばφ=1/√2(|yz>+i|zx>)のように虚数が含まれた複素軌道の場合についても、軌道角運動量と軌道磁気モーメントの計算方法を教えて欲しいです！

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

あなたが質問された軌道角運動量と軌道磁気モーメントについて、波動関数が与えられた場合の計算方法を説明します。

### 1. 波動関数 φ = 1/√3(|yz> + |zx> + |xy>) の場合

#### 軌道角運動量 (L)
軌道角運動量は、角運動量演算子 \(\hat{L}\) を用いて以下のように計算します。まず、各成分の軌道角運動量を求め合算します：

- |yz>: \(L = \hbar \sqrt{l(l+1)} (m = \pm1)\)
- |zx>: 同様
- |xy>: 同様

状態 \(|\psi\rangle\) に対する期待値は次のように求めます：

\[
\langle \psi | \hat{L} | \psi \rangle = \frac{1}{3}\left( \langle yz | + \langle zx | + \langle xy | \right) \hat{L} \left( | yz \rangle + | zx \rangle + | xy \rangle \right)
\]

これを展開して計算しますが、各状態は正規直交するので簡略化できます。各成分の簡略化計算が必要です。

#### 軌道磁気モーメント (μ)
軌道磁気モーメントは \(\mathbf{\mu} = -\frac{e}{2m_e} \mathbf{L}\) で求めます。角運動量期待値が求まったら、同様に適用します。

\[
\langle \mathbf{\mu} \rangle = -\frac{e\hbar}{2m_e} \langle \mathbf{L} \rangle
\]

### 2. 波動関数 φ = 1/√2(|yz> + i|zx>) の場合

#### 軌道角運動量
複素数が含まれても基本的な手順は同じです。複素共役をとって内積を求めます。

\[
\langle \psi | \hat{L} | \psi \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle yz | - i \langle zx | \right) \hat{L} \left( | yz \rangle + i | zx \rangle \right)
\]

これを展開後、各成分が正規直交することを利用し計算します。

#### 軌道磁気モーメント
同様の手順で \(\mathbf{\mu}\) を求めます。

\[
\langle \mathbf{\mu} \rangle = -\frac{e\hbar}{2m_e} \langle \mathbf{L} \rangle
\]

これで基本的な計算手順は以上ですが、厳密な計算は具体的な数値やベクトル成分に依存するため、個々の状況に合わせた詳細な演算が必要です。参考図書や専門医の相談も併用すると良いかと思います。

具体的な数値例や詳細な演算が必要ならば、ぜひ量子力学や物理化学の教科書を確認してください。正確な計算には専門的な知識とツールが必要ですので、しっかりとしたリファレンスや指導が有用です。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による参考回答です。
有識者からの回答も是非お待ちしています。

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