角運動量演算子

質問

スピン1/2の粒子a,bがある。それぞれのスピン角運動量演算子をs1,s2とする。s1・s2(内積)の固有状態と固有値求めよ。という問題なんですが、s1・s2=(s1x)(s2x)+(s1y)(s2y)+(s1z)(s2z)
=1/2((s1+)(s2-)+(s1-)(s2+))+(s1z)(s2z)…(1)
ただし、s1,2x,y,zはそれぞれs1,2のx,y,z成分で、s1,2±は昇降角運動量演算子つまり、(s1,2±)=(s1,2x)±i(s1,2y)である。
(1)のように変形して考えるような気がするのですが、ここから先が分かりません。

回答No.2

de_Raemon · ベストアンサー

演算子を大文字で、固有値を小文字で表すことにします。
合成したスピンをS=S1+S2とし、
S^2＝(S1)^2+(S2)^2+2S1・S2 → S1・S2＝(1/2)(S^2-(S1)^2-(S2)^2) …(1)
と変形したほうが楽なんじゃないかと思います。

交換関係[(S1)^2,(S2)^2]＝0なので
[S^2,(S1)^2]＝[S^2,(S2)^2]＝0 …(2)
が成り立ち、S^2の固有状態は(S1)^2と(S2)^2の固有状態にもなってます。
つまりS^2の固有状態を|s,m,s1,s2＞とすると、
S^2|s,m,s1,s2＞＝s(s+1)h^2|s,m,s1,s2＞ …(3)
(S1)^2|s,m,s1,s2＞＝s1(s1+1)h^2|s,m,s1,s2＞ …(4)
(S2)^2|s,m,s1,s2＞＝s2(s2+1)h^2|s,m,s1,s2＞ …(5)
ここでs,s1,s2はそれぞれS^2,(S1)^2,(S2)^2の固有値でmはSzの固有値です。
またhはhバーのつもりです。

(1)(3)(4)(5)から
(S1・S2)|s,m,s1,s2＞＝(1/2)(S^2-(S1)^2-(S2)^2)|s,m,s1,s2＞
＝(1/2)h^2(s(s+1)-s1(s1+1)-s2(s2+1))|s,m,s1,s2＞ …(6)
したがってS^2の固有状態|s,m,s1,s2＞はS1・S2の固有状態で、
固有値は(1/2)h^2(s(s+1)-s1(s1+1)-s2(s2+1))なことがわかります。

今の問題ではs1＝s2＝1/2なのでsがとる値は1か0なので、
S1・S2の固有値は(1/4)h^2と-(3/4)h^2の二つですね。

お礼

詳しい解答ありがとうがざいます。とても分かりやすかったです。

回答No.1

eatern27

(n次元ベクトル空間上の)演算子Aの固有値・固有状態を求めたい時には、

１．正規直交基底|1>,・・・,|n>を適当に選ぶ.
２．<i|A|j>を計算する
３．(i,j)成分が<i|A|j>であるような行列の固有値・固有ベクトルを求める

というのが基本的な手順です。