極座標表示

質問

模範解答と計算が合わないのです・・・。
比較してみて下さい。

３次元ポテンシャルと極座標表示の分野で、
シュレーディンガー方程式に使う為の変換です。

△(x、y、z)＝(∂^2/∂ｘ^2)＋(∂^2/∂ｙ^2)＋(∂^2/∂ｚ^2)
という式を
ｘ＝ｒsinθcosψ、ｙ＝ｒsinθsinψ、ｚ＝ｒcosθ
の変数変換をする。
∂/∂ｘ＝(∂ｒ/∂ｘ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｘ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｘ)(∂/∂ψ)
∂/∂ｙ＝(∂ｒ/∂ｙ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｙ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｙ)(∂/∂ψ)
∂/∂ｚ＝(∂ｒ/∂ｚ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｚ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｚ)(∂/∂ψ)
と表され、
ｒ＝√(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2)、tanθ＝｛√(ｘ^2＋ｙ^2)｝/ｚ、tanψ＝ｙ/ｘ
の関係から各係数を計算して
(∂ｒ/∂x)＝ｘ/ｒ＝sinθcosψ、(∂r/∂y)＝ｙ/ｒ＝sinθsinψ、(∂r/∂z)＝ｚ/ｒ＝cosθ
(∂θ/∂x)＝cosθcosψ/ｒ、(∂θ/∂ｙ)＝cosθsinψ/ｒ、(∂θ/∂ｚ)＝－sinθ/ｒ
(∂ψ/∂x)＝－sinψ/ｒsinθ、(∂ψ/∂ｙ)＝cosψ/ｒsinθ、(∂ψ/∂ｚ)＝０
となるので、これをずーっと計算すると
△(r、θ、ψ)＝(∂^2/∂ｘ^2)＋(∂^2/∂ｙ^2)＋(∂^2/∂ｚ^2)
　　　　　 ＝（１/ｒ^2)(∂/∂r)(ｒ^2・∂/∂r)
　　　　　　＋(１/ｒ^2sinθ)(∂/∂θ)(sinθ∂/∂θ)
　　　　　　＋(１/ｒ^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)　　　　　　　―――(1)

となるそうなのですが、
私がちまちま計算しましたところ、

△(r、θ、ψ)＝(∂^2/∂ｒ^2)＋(１/ｒ^2)(∂^2/∂θ^2)＋(１/ｒ^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)

という形になりました。
同じようで、微妙に違うのですが
これはどういうことなのでしょうか？
そのまま(1)式に拡張して良いのか、
計算が途中で間違えたのか、如何でしょう。

回答No.1

starflora · ベストアンサー

それはラプラシアンの極座標表示ですが、以下のＵＲＬに、式の導出計算の過程を一応一通り書いてありますが、結論は、提示されている公式の通りです。わたしは、そんな計算をすることは長らくしていないし、時間がかかるのも明らかなので、以下の参考ページを見て、どこで計算を間違えたのか、自分の計算ノートと比較して考えてみてください。

　　こういう膨大な計算の場合、よく間違いを犯します。（そんなに膨大でないのかも知れません。微分方程式の解で、もっと長々した計算が必要なものが一杯あったはずです（教科書では、この式を展開するとこうなる、と書いてあって、実際に検算してみると、２時間とか３時間とか、かかるとか）。

参考URL：

http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~daisuke/ja/Research/Astronomy/Math/Laplacian/

回答No.4

vortexcore

昨日の回答で、用語のウソに気がつきました。合成関数の微分ではなく、関数の積の微分です。ようするに、

∂/∂θ{f(θ)∂/∂θ}=∂f(θ)/∂θ・∂/∂θ+f(θ)∂^2/∂θ^2

ということです。ごめんなさい。

回答No.3

vortexcore

二階微分にするときにたとえば、

{(cosθcosψ/r)∂/∂θ}{(cosθcosψ/r)∂/∂θ}

という演算が出てきますが、そのとき、後ろの中カッコの微分が合成関数の微分になっていることを忘れるとpowerlessさんの答えになります。

＃私もやったことがあります。

膨大な計算です。がんばってください。

回答No.2

starflora

追加です。
　　参考ＵＲＬの式を見ていると、最初の九個の式を計算する時、記号を書き間違えていますね。参考ＵＲＬでは、（１８）式は、

　　(∂ψ/∂ｙ)＝cosθ/ｒsinθ　になっていますが、正しくは貴方が書かれている、
　　(∂ψ/∂ｙ)＝cosψ/ｒsinθ　です。

　　実際、（１８）式を代入する時に、正しい式を代入しています。しかし、計算途上、このように変数文字を一つ書き間違えるだけで、後の計算は失敗するでしょう。