部分空間になりますか

質問

Ｗ＝｛a,b,c∈Ｒ3｜a+b+c≧０，a-b-c<0 ｝はＲ3の部分空間になりますか？
２式とも原点を通る平面ですよね？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

そう, (0, 0, 0) を含まないというだけで「部分空間ではない」といえます.
もちろん u ∈ W に対して -u ∈ W でないという例もありますし.
どちらにしても「部分空間ではない」と結論されます.

お礼

すっきりしました．
お世話になりました．

回答No.3

Tacosan

ノーマルな定義を使うと, 部分空間ではないですね.
もちろん, あなたがどのように「部分空間」を定義しているかわからないので, その定義によっては部分空間かもしれない.

お礼

回答ありがとうございます．
定義は回答番号：No.2の方のところに示したとおりです．

例えば、
u=(a,b,c)=(0,0,0)は、a-b-c<0　を満たさないので、0∈Ｗに反しているのでしょうか？

u=(a,b,c)=(1,1,1)　は　Wに含まれますが、-uは含まれないので、部分空間ではないといえるのでしょうか？

回答No.2

koko_u_u

あなたの言うところの「部分空間」とは何を指すのか。補足にどうぞ。

>２式とも原点を通る平面ですよね？
違います。

お礼

回答ありがとうございます．

教科書では

0∈Ｗ
u,v∈Ｗ ならば u+v∈Ｗ
u∈Ｗ,c∈Ｒ ならば cu∈Ｗ

になってます．

回答No.1

jaspachate

a+b+c≧0
は、(a、b、c) 直交右手座標系で、点(0、0、0)、(1、0、1)、(0、-1、1) を通る平面を含む、その上方(c軸の正の方向)の空間。
a-b-c<0
は、点(0、0、0)、(-1、0、1)、(0、-1、1) を通る平面を含まない、その上方です。
ですから R3の部分空間です。

お礼

回答ありがとうございます．

２つの平面を境界にすることはわかりました．

>ですから、R3の部分空間です．
というところが私には理解できませんでした．