実線形空間の部分空間について

質問

通常の実数系空間Ｒ^4＝{(x,y,z,w)|x,y,z,w∈Ｒ}の
部分空間をなすかどうかを、いかについて判別せよ。
部分空間を成さないものについてはその根拠を例で示せ。

(1) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x+y+z+w=0}
(2) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x+2y+3z+4w=0}
(3) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x=0}
(4) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x=2y=3z=4w=0}
(5) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x^2+y^2+z^2+w^2=1}
(6) {(x,y,z,w)∈Ｒ^4|x+y+z+w≧0}

↑部分空間かどうかを判別する方法、またその根拠を
「例」であげる、ということの意味がよくわかりません。
どなたか教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

noname#14584 · ベストアンサー

部分空間かどうか・・・
K線形空間Vに対しその部分集合V'が部分空間を調べるには，V'の任意の2元の差がV'に入っていることとV'の任意の元にKの任意の元を掛けてもV'に入っていることを調べれば良いです．

根拠・・・例を一つ挙げておきます．

（6）について，(1,2,3,4)(2,4,6,8)は含まれていますが，その差である(-1,-2,-3,-4)は含まれていません．よって部分空間ではありません．

お礼

ありがとうございます。大変参考になります。

回答No.1

fsfs

多分Ｒ上の線形空間としての部分空間という意味だと思いますが、１から６が線形空間Ｒ＾４の部分空間だと思うなら、それ（線形空間の部分空間であることの定義を満たすこと）を証明して、部分空間で無いと思うなら、反例をあげればいい（すなわち線形空間の部分空間の定義を満たさない要素を見つける）と思います。

お礼

ありがとうございます。表現の仕方について少し理解できました。