部分空間の基底と次元について

質問

すみません、大学の教科書で少しわからない点があったのでご教授ねがいます。

質問は、Wの基底と次元の話なのですが、

W={(a,a,b)∈R^3|a,b∈R}　が与えられています。
(a,a,b)=a(1,1,0)+b(0,0,1)
Aベクトル=(1,1,0),Bベクトル=(0,0,1)とおくと、
W=<Aベクトル,Bベクトル>
ここで、AベクトルとBベクトルは１次独立であるから、
AベクトルとBベクトルはWの基底となり、dimW=2
となると思うのですが、次のようにするとどうでしょうか・・

W={(a,a,b)∈R^3|a,b∈R}　が与えられています。
(a,a,b)=a(1,0,0)+a(0,1,0)+b(0,0,1)
Aベクトル=(1,0,0),Bベクトル=(0,1,0),Cベクトル=(0,0,1)とおくと、
W=<Aベクトル,Bベクトル,Cベクトル>
ここで、AベクトルとBベクトルとCベクトルは１次独立であるから、
AベクトルとBベクトルとCベクトルはWの基底となり、dimW=3

となってしまう気がします・・・
同じ部分空間Wが基底の取り方によって次元が変わるのはおかしな話だと思うのですが、どこが間違っているのかわからないのです・・・

おねがいします。

回答No.3

gef00675

Ｗの元は、(a,a,b)の形のものだけなのでしょう？
それなら、(1,0,0)はＷの元になっていませんよ。
aは同時に0と1にすることはできませんから。

回答No.2

gef00675

基底とするからには、一次独立である以前に、その空間の元でなければなりません。
(1,0,0)と(0,1,0)は、Ｗの元ではないから、Ｗの基底にはなりません。

補足

すみません、いろいろ調べてみたのですが、
(1,0,0)と(0,1,0)がなぜWの元でないのかよくわかりません・・・
知識不足で申し訳ないです。

回答No.1

jmh

Ｗ≠＜Ａベクトル，Ｂベクトル，Ｃベクトル＞