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指数関数について
- 指数関数についての理解に関する質問です。log(n)^(1/logｎ)の極限値が1であることがわかりません。
- ロピタルの定理を用いて、lim[n→∞]log(n)^(1/logｎ)が1に収束することを示す質問です。
- e＾（logm/（m））の極限値が1に収束する理由についての質問です。
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補足読ませてもらいましたが、まだ極限と言うのはどういうことか分かってないようですね。 まず∞/∞を値としてみなしている時点で間違っている。 ∞/∞はあくまで分子、分母ともにmを限りなく大きくするとともに∞に近付くのであって、じゃあ果たして∞/∞はどの値にちかづくか分からない。 だいたい、log(m)/mはlog(m)=tと変換すればすぐに分かることなんですね。
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- koko_u_u
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>ロピタルを使わない場合どのように解けば良いのでしょうか？ >lim[m→∞]e＾（logm/（m））＝e＾（log∞/∞）となって・・・です。 逆に、そういった不定形の極限値をロピタルの定理を使ってしか求めたことがない、ということですか？ そんなことはないと思うんですけど。
だってさk→0ならe^kは1に収束のことだけいってるんだよ。 ロピタルの定理使ってk→0だからe^kは1に収束するのは当たり前
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>なぜe＾（logm/（m））において、（logm/（m））だけ抜き出して >ロピタルの定理を使う事が出来るのでしょうか？ y = e^x が連続関数だからです。 そもそも、log(m) / m の極限を求めるのに、ロピタルの定理が必要とは思えない。
補足
ご回答ありがとうござます。連続関数は、微分可能であることの前提条件と言う認識なのですが、 なぜ連続関数であれば、e＾（logm/（m））において、（logm/（m））だけ抜き出してロピタルの定理を利用できるのでしょうか？ ロピタルを使わない場合どのように解けば良いのでしょうか？ lim[m→∞]e＾（logm/（m））＝e＾（log∞/∞）となって・・・です。 ※log∞/∞は∞/∞と同じと認識しています。 lim[x→∞]logx=∞と考えているのですが、log∞と∞では発散の速度が全然違いますよね・・・（∞/∞）は間違いでしょうか？ （？/∞）と考えてe^0=1となるのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
お礼
自己解決致しました！！
補足
ご回答ありがとうございます。 ∞が数ではないことは理解しているつもりなのですが・・・ lim[m→∞]e^（logm）/mについて logm=tとおけば、m→∞の時t→∞として・・・ 分子のmはどうすれば良いのでしょうか？ x→∞のとき、∞に発散する速度は logx＜x＜nx＜x^n＜e^x＜x!＜x^xだと認識しています。 lim[x→∞]x^(1/x)=1は丸暗記ですが、知っています。 なので、lim[n→∞]log(n)＾（1/logｎ）=1は正しいと事は分かっています。 つまり、lim[x→∞]x^(1/x)=1の導出方法が分かれば解決できると思います。 導出の方法がさっぱり検討つきません。 ご回答お願い致します。