2009灘中入試初日算数の２問目

質問

最新の試験が新聞に掲載されており、ちょうど子供が頭をひねっている時に私が帰宅したので一緒にチャレンジしました。長年培った営業の直勘とヒラメキで答えてあげたので面目は保てたものの、その際の解き方を教えたら思いっきり笑われました。この問題ってちゃんとした解き方ってあるのでしょうか？

『鉛筆１８０本を、A組の生徒全員に１人４本ずつ配ると何本か余った。また、別の鉛筆２００本を、B組の生徒全員に１人６本ずつ配るには何本か足りないので、１人５本ずつ配ると何本か余った。余った鉛筆をあわせると、A組、B組の生徒全員にちょうど１人１本ずつ配ることができて、１本も残らなかった。

　A組の生徒は（　　）人である。』

ちなみに私は『しょせんＢ組の生徒は３４人から３９人の間やから、それぞれのＢ組の生徒数と余り鉛筆本数の６パターンをＡ生徒＋Ｂ生徒＝Ａ鉛筆＋Ｂ鉛筆の式にひとつづつ放り込んでつぶせば３っ目ぐらいでヒットするでぇ。こんなん考えんと手ぇ動かしたほうが早いわぁ！知恵出ん奴は汗かきや！』と人生訓に通じる高尚な解説をしてあげたのに『そんなん答えにならへんわぁ！』と爆笑されています。

回答No.4

iamir · ベストアンサー

AをA組みの人数，BをB組みの人数，
xをA組みのあまり，yをB組みのあまりとすると
4A+x=180・・・(1)
5B+y=200・・・(2)
A+B=x+y・・・(3)
三つの式からx,yを消去して整理すると，
A=76-6B/5・・・(4)
Aは整数なので，Bは5の倍数でなければいけない．
34<=B<=39
なので B=35
(4)にこれを代入すると
A=34
よってA組みの人数は34人です.

お礼

＞A=76-6B/5・・・(4)
＞Aは整数なので，Bは5の倍数でなければいけない．
ビンゴ！この式で説明するのがクールですねぇ。
日頃、勘定していると『Ｂは５の倍数しかありえへんから３５やん』と直勘的に引っ張ってしまって論理が飛んでました。
あぁスッキリした。
どうもありがとうございます。

回答No.6

Quattro99

私も考えてみました。

読み替えると、180本をA組の生徒に5本ずつ配ってもまだ余りがあり、その余りと200本を足すとB組の生徒にちょうど6本ずつ配ることが出来るということになります。
180÷5=36ですから、A組の生徒が36人だと余りが出ません。35人で5本余り、34人で10本余り．．．となります。
200本にこの余りを足すと6の倍数にならなければいけません。205、210、215．．．で6の倍数になるのは210、240、270．．．ですが、240以上だとB組の人数が240÷6=40人以上いることになり、200本を5本ずつ配ったときに余りが出ない、あるいは足らないことになってしまいます。
従って210のときですから、A組は34人と求まります。

回答No.5

pochy1

中学受験ということはｘとかｙとかの記号を使わないという前提ですよね？そうすると質問者さんの方法しか思いつきません。
私も問題を見てＢ組が34～39人と出た時点で迷わず各個撃破しました。
試験会場では、各個撃破にかかる手間と解き方を考える時間とを秤にかけますが、私は知恵がないので10通りくらいまでなら迷わず手を動かす方を取ります。
　　・Ａ組に１８０本を４本ずつ配ると何本か余る…(i)
　　・Ｂ組に２００本を５本ずつ配ると何本か余る…(ii)
　　・(i)(ii)の余りを足すとさらにＡ・Ｂ組に１本ずつ配れる
の条件から、３８０本をＡ組に５本ずつ、Ｂ組に６本ずつ配ると１本も残らない。これなら各個撃破も大したことありません。
(34人)５×（　）＝３８０－６×３４＝１７６不成立
(35人)５×（　）＝３８０－６×３５＝１７０より（　）＝３４
(36人)５×（　）＝３８０－６×３６＝１６４不成立
(37人)５×（　）＝３８０－６×３７＝１５８不成立
(38人)５×（　）＝３８０－６×３８＝１５２不成立
(39人)５×（　）＝３８０－６×３９＝１４６不成立
よって、（　）＝３４人。

お礼

大人は条件絞って各個撃破なんですよね。（それが確実で結局時間とらないことを経験的にわかってるから）

まさか出題者御本人からコメント頂けるはずもありませんが普通の分数問題の後の２問目でこの問題がでているので小学生には理論か各個撃破か悩ましかったと思いますね。一番悩ましいのは塾の先生かも・・・来年類題が出たらどっちをすすめるんでしょう？。

回答No.3

owata-www

一応解説すると５Ａが10の倍数になるのは10の倍数でないと、奇数になり
380(偶数)＝5A（奇数）+6B(偶数)
となり、矛盾するからです。

回答No.2

owata-www

天下の灘中の問題も今解いてみると簡単ですね～

Ａ組の生徒をＡ人、Ｂ組の生徒をＢ人とします。
問題文から、鉛筆380本をＡ組には5本、Ｂ組には６本配るとちょうどなわけです。
つまり、
３８０＝５Ａ＋６Ｂになるわけです。

ここで、５Ａは必ず10の倍数になります。そこから、６Ｂも10の倍数になります。

また、
＞鉛筆２００本を、B組の生徒全員に１人６本ずつ配るには何本か足りないので、１人５本ずつ配ると何本か余った。
から、５Ｂ＜２００＜６Ｂ
→１００／３＜Ｂ＜４０
となります。この中で、６Ｂが10の倍数になるのはＢ＝35の時だけです。
よって、Ｂ＝３５になります。
これを
３８０＝５Ａ＋６Ｂに代入してＡ＝３４です

間違ってたらどうしよう (汗

お礼

＞３８０＝５Ａ＋６Ｂになるわけです。
なるほどこれも見落としてました。納得です。
この式に文章から式にした
１８０　＝　４Ａ　＋　ａ
２００　＝　５Ｂ　＋　ｂ
ａ　＋　ｂ　＝　Ａ　＋　Ｂ
の３式があれば連立チックに回答を持ってこれますね。
ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
ちなみに私は『しょせんＢ組の生徒は３４人から３９人の間やから、それぞれのＢ組の生徒数と余り鉛筆本数の６パターンをＡ生徒＋Ｂ生徒＝Ａ鉛筆＋Ｂ鉛筆の式にひとつづつ放り込んでつぶせば３っ目ぐらいでヒットするでぇ。こんなん考えんと手ぇ動かしたほうが早いわぁ！

まったくおっしゃるとおりで、小学生には、それが最善の解き方でしょう。

あえて式を書けば、

Ａ：　Ａ組の生徒数（自然数）
Ｂ：　Ｂ組の生徒数（自然数）
ａ：　Ａ組のあまり（自然数）
ｂ：　Ｂ組のあまり（自然数）

１８０　＝　４Ａ　＋　ａ
２００　＝　５Ｂ　＋　ｂ
（　４Ａ　＜　１８０　）
（　５Ｂ　＜　２００　＜　６Ｂ　）
ｂ　＜　Ｂ
ａ　＋　ｂ　＝　Ａ　＋　Ｂ

・・・だから何？

って感じですね。　＾＾

では。

お礼

早速の回答ありがとうございます
＞・・・だから何？
そうなんですね。答えのほうが観念的にすぐに出てしまうと却って説明の仕方に詰まってしまいました。子供には１パターンづつつぶせと言いつつ、自分自身はＢ組の生徒は３４人から３９人と条件付けした瞬間にＢ組は３５人とひらめいてしまい後で説明できなくなってしましました（笑）