∫［０－＞１］(x-1)/logxdx=log2 を証明せよ。

質問

∫［０－＞１］(x-1)/logxdx=log2　を証明せよ。

左辺がlog2になるので、不定積分がlog(x+1)となるように変形すればよいのか、
また、置換してなんとかしようとも考えたが、結果に　logが付くのでどう置換したらよいのか
うまくいかない。よろしくお願いします。

回答No.4

inara1 · ベストアンサー

＞２、３行目が分かりません
問題の積分は ∫［0→1］( x - 1 )/log(x) dx ですが、それと類似の積分
　　　 ∫［0→1］( x^m - 1 )/log(x) dx
を、m の関数として
　　　H(m) ≡∫［0→1］( x^m - 1 )/log(x) dx --- (1)
と定義します、というのが、知恵袋の回答2行目の意味です。したがって問題の積分は m = 1 のときの H(m) を求めればいいわけです。

H(m) は m の関数なので、これを m で微分すると、式(1)の右辺の定積分を m で微分したのに等しくなります。つまり
　　　H '(m) = (∂/∂m)∫［0→1］( x^m - 1 )/log(x) dx
　　　　　　　=∫［0→1］∂{ ( x^m - 1 )/log(x) }/∂m dx
となります。∂/∂m は m で微分するという意味です。ここで
　　　∂(x^m)/∂m = (x^m)*log(x)
なので（ a^x を x で微分したのと同じ形）
　　　∂{ ( x^m - 1 )/log(x) }/∂m = (x^m)*log(x)/log(x) = x^m
つまり
　　　　H '(m) =∫［0→1］x^m dx = 1/(m+1)
したがって
　　　　H(m) = ∫ 1/(m+1) dm = log(m+1) + C（積分定数） --- (2)
となります（ここは知恵袋と違うのですが、たぶん省略したのでしょう)。

式(1)で、m = 0 のとき、被害積分関数は 0 なので、これを定積分すると 0 、つまり H(m) = 0 となります。したがって式(2)の C の値は 0 となります。結局
　　　　H(m) = log(m+1)
つまり、問題の定積分は
　　　 ∫［0→1］( x - 1 )/log(x) dx = H(1) = log(2)

お礼

ありがとうございます。なんどもすみません。
H(m) は m の関数なので、これを m で微分すると、・・・で、x^m - 1 )/log(x)をｍで微分するのと、∫［0→1］( x^m - 1 )/log(x) dxをｍで微分するのは等しいのでしょうか。

回答No.5

inara1

＞( x^m - 1 )/log(x)をｍで微分するのと、∫［0→1］( x^m - 1 )/log(x) dxをｍで微分するのは等しいのか
( x^m - 1 )/log(x) を m で微分したもの x^m は、考えている領域（0 < x < 1）で連続なので、ここ（http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/05/biseki4b-051207.pdf ）の最後のページの「定理 4.5.6 」によれば、等しいと思います。

お礼

いろいろ最後までありがとうございます。
様々な解答の方法があるのだと改めて
思いました。

回答No.3

inara1

知恵袋（http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1343523373）に回答が出ています。こういう解き方があるんですね。

お礼

サイトを確認しました。
正直、よくわかりませんでした。
２、３行目が分かりません。
解説をつけてくれるとありがたいです。

回答No.2

alice_44

分母の log x が厄介だから、y = log x で置換してみると、

∫[x=0…1]{ (x - 1)/log x }dx
= ∫[y=-∞…0]{ (e^y - 1)/y }e^y dy
= ∫[y=-∞…0]{ e^(2y)/y }dy - ∫[y=-∞…0]{ e^y/y }dy
= ∫[y=-∞…0]{ e^(2y)/(2y) }2dy - ∫[y=-∞…0]{ e^y/y }dy
= Ei(0) - Ei(0)
= 0
ただし、Ei は指数積分 Ei(x) = ∫[y=-∞…x]{ e^y/y }dy.

にならない？

お礼

log2になる証明問題になります。
よろしくお願いします。

回答No.1

t-saizou

積分の平均値の定理を使えば解けると思います。
ご存じないのであれば検索すればすぐ出てきます。