ヘビサイド関数の証明について

質問

ヘビサイド関数の不定積分

∫H(ｔ)ｄｔ＝ｘ(ｘ≧0)、0(ｘ＜0)　[∫の上端はｘ、下端は0]　はｘ＝0で微分できない。

という問題なのですが

証明
　不定積分をG(ｘ)＝∫H(ｔ)ｄｔと置く。
不定積分はｘ＝0で、G(0)＝0、G(ｘ)→0(ｘ→0-、ｘ＝0+)なので連続
両辺の微分係数について考える。

(1)左側微分係数について
　　lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h={0-0}/h=0
(2)右側微分係数について
　　lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h={1-0}/h=∞

計算した結果、両辺での微分係数が違うので、ｘ＝0での微分係数が存在しない。
よってｘ＝0で微分不可能である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上

が私が回答した結果です。
この回答に不備や訂正箇所はありますか？
ありましたら、是非教えてください。
正直微分係数の計算も自信がありません。
確認し、訂正頂けたら幸いです。

よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

ANo.1とおおむね同意見ですが，ちと気になりましたので：

> ヘビサイド関数の不定積分

　[∫の上端はｘ、下端は0]　なんですから，これは定積分です．不定積分なら∫の上端下端なんてものはなく，そして積分定数が付く筈でしょう？
　それはさておき，何もヘヴィサイド関数を持ち出さなくたって，ただ「G(x) = (x≦0のとき0, x＞0のときx) はx=0では微分できない」と言えばいいだけの話です．なお，

G(x) = (x≦0のとき0, x＞0のときx) = max{0, x} = (x+|x|)/2 = xH(x)

には「Ramp関数」という名前が付いています．

> (1)左側微分係数について
>　　lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h={0-0}/h=0

　“{0-0}/h”ってのが落第．「hって何よ？」ということになるからです．
　普通に書けば

lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h = lim_h→-0 0 = 0

で十分でしょうが，細かくステップを刻んでみれば
「h＜0 のとき G(h) = 0 , そして G(0) = 0 であるから，

lim_h→-0 {G(h)-G(0)}/h = lim_h→-0 {0-0}/h

h＜0 のとき {0-0}/h = 0であるから,

lim_h→-0 {0-0}/h = lim_h→-0 0 = 0

」という話でなくちゃいけません．右側(h＞0)も同様にやれば良いわけです．

回答No.1

rnakamra

>(1)左側微分係数について
>　　lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h={0-0}/h=0

こっちはよいのですが(あえて言えば h→0 ではなく h→-0 と書くべき)

>(2)右側微分係数について
>　　lim_h→0 {G(h)-G(0)}/h={1-0}/h=∞

これは違う。
G(x)ではなくヘビサイド関数H(x)そのもので計算している。
x≧0でG(x)=xです。