数学的帰納法について

質問

(1+2+・・・+n)^2 = 1^3 + 2^3 + ・・・ + n^3

を数学的帰納法で証明するのですが、

n=1のとき、 1=1で左辺＝右辺。

n=kで成り立つとしたとき、　
n=k+1のとき、左辺 - (1+2+・・・+k)^2 = k^3 = (k+1)^3　を求めてみようとしたのですが、
式変形がうまくいきません。

どうかご教授願います。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

んん？

(1+2+・・・+n+(n+1))^2
= ((1+2+・・・+n)+(n+1))^2
　　 :ここでA=1+2+・・・+n、B=n+1として(A+B)^2=A^2+2AB+B^2　を適用　
=(1+2+・・・+n)^2 + 2*(1+2+・・・+n)*(n+1) + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + 2*1/2*n*(n+1)*(n+1) + (n+1)^2
　　　　：ここで1+2+・・・+n=n(n+1)/2　を適用
=(1+2+・・・+n)^2 + n*(n+1)*(n+1) + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + n*(n+1)^2 + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + (n+1)*(n+1)^2
　 　　：第2項と第3項に着目して共通因数(n+1)^2でくくる
=(1+2+・・・+n)^2 + (n+1)^3
=( 1^3 + 2^3 + ・・・ + n^3) + (n+1)^3

これならよいですか？

回答No.1

funoe

ん?

(1+2+・・・+n+(n+1))^2
= ((1+2++・・・+n)+(n+1))^2
=(1+2+・・・+n)^2 + 2*(1+2++・・・+n)*(n+1) + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + 2*1/2*n*(n+1)*(n+1) + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + n*(n+1)*(n+1) + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + n*(n+1)^2 + (n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + (n+1)*(n+1)^2
=(1+2+・・・+n)^2 + (n+1)^3
=( 1^3 + 2^3 + ・・・ + n^3) + (n+1)^3

ではないでしょうか？

補足

ありがとうございます！普通に左辺変形してできるのですね。
申し訳ないのですが、二つ目の式変形から理解ができないのですが詳しくお願いできないでしょうか。。すいません。