数学的帰納法 教科書の例題

質問

教科書の例題で
自然数ｎについて次の等式が成り立つ。
１+２+３+・・・+ｎ＝（１/２）ｎ（ｎ+１）

ｎ=ｋのとき両辺に（ｋ+1）を加えて左右をそれぞれ変形
すると
左辺＝１+２+３+・・・+ｋ（ｋ+１）
右辺＝（１/２）ｋ（ｋ+１）+（ｋ+１）
＝（１/２）（ｋ+１）（ｋ+２）
とあるのですが、なんで（１/２）ｋ（ｋ+１）+（ｋ+１）と（１/２）（ｋ+１）（ｋ+２）がイコールで結ばれ
るのでしょうか？計算しても合わないのですが。
お手数かけますが教えてください。

回答No.1

Scotty_99 · ベストアンサー

教科書の数学的帰納法の証明だと私が思うに大事な部分が抜けているので、教科書を読んでも理解しずらいかと思います。

抜けている部分というのを中心に書いていきます。

ｎ＝１は省略します。つぎに
ｎ＝ｋのときを証明しますよね？

１+２+３+・・・+ｋ＝（１/２）ｋ（ｋ+１）・・・・(1)
ただ単にｎをｋに置き換えただけです。

ここからが教科書でかかれていないことで、非常に重要な考えです。コツがわかるまで手にペンを持って考えてみてください。

ｎ＝ｋ＋１のとき
(1)式はどうなるでしょう？
→１+２+３+・・・+（ｋ＋１）＝（１/２）（ｋ＋１）（ｋ+２）
(1)式のｋをｋ＋１と置き換えただけです。右辺をどっかで見たことありませんか？

＞なんで（１/２）ｋ（ｋ+１）+（ｋ+１）と（１/２）（ｋ+１）（ｋ+２）がイコールで結ばれ

に書いてありますね。なんでｎ＝ｋとわざわざ置いたのか考えてみてください。この「（１/２）（ｋ＋１）（ｋ+２）」を示すためだったんですよ。

あとは一旦、上のことは忘れて教科書どおりにｎ＝ｋ＋１のときを考えます。

１+２+３+・・・+ｎ＋（ｎ＋１）＝（１/２）ｎ（ｎ+１）＋（ｎ＋１）
ここで両辺に（ｎ＋１）を加えます（等式の性質）。
まず自分で右辺を解いてみてください（左辺は無視）。（ｎ＋１）をＭとかＡに置き換えるのがポイントです。これは小学生で習う分配法則なのでわからなければ調べてみてください。

（１/２）ｎ（ｎ+１）＋（ｎ＋１）　→　（ｎ＋１）をＭとおく
（１/２）ｎＭ＋Ｍ　
→Ｍ（（１/２）ｎ＋１）
→Ｍをもとに戻す　（ｎ＋１）（（１/２）ｎ＋１）
→（ｎ＋１）（１／２）（ｎ＋２）　・・・※（１／２）（ｎ＋２）は（（１/２）ｎ＋１）とイコールでしょ？計算してみてください。
→（１／２）（ｎ＋１）（ｎ＋２）

最後は抜粋します。余計なことまで説明しましたが、どうでしたでしょうか？わからなければ補足します。

お礼

なかなか難しいですが、もうちょっと粘ってみます。
ありがとうございます。

回答No.3

nozomi500

計算しやすいように、両方２倍します。
前者×2：ｋ（ｋ+1）+2（ｋ+1）→展開すれば、ｋ^2　+3ｋ　+2
後者×2：（ｋ+1）（ｋ+2）→展開すれば、ｋ^2　+3ｋ　+2
同じになります。計算ちがったんじゃないかな？

お礼

計算したらそうなりました。
ありがとうございますnozomi500さん。

回答No.2

noname#24477

計算しただけです。
計算しても合わないというのは、単に計算間違いをしたのでしょう。

簡単な整理の仕方。
まず分母を２で通分します。後ろに２が付きますよ。

（ｋ＋１）が２つありますから、これでくくります。（ｋ＋１）を前に出す。

右辺＝（１/２）ｋ（ｋ+１）+（ｋ+１） ＝｛ｋ（ｋ＋１）＋２（ｋ＋１）｝／２
＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）／２

普通は分母の２は（１／２）として前に出しますね。

お礼

ojamanboさん、ありがとうございます。
数学は難しいですね。