剛体が斜面を滑らず転がる時の運動（大学一年）

質問

こんばんは！大学一年のものです。
いつもお世話になっています。
力学の問題の途中部分なんですがなんですが、
いきづまって考えていたら、混乱してしまいました…

剛体の重心G、剛体と斜面の接点Pとしたとき、
接点Pから見た剛体の相対速度Vｐは
Vp＝Vgｙ+d/dt(ベクトルＧＰ)
となるはずなんですが、（yは基本ベクトル）
(1)d/dt(ベクトルＧＰ)はそれぞれ何を表しているんですか？？
(2)重心速度についてなんですが、これは剛体自体の速度とは違うんですか？？（重心速度というのがイメージできません）
質点系の運動の場合はなんとなくイメージできるのですが…
(3)『滑る』という言葉がいまいちうまく解釈できないんですが、どう考えればよいですか？？
たくさん質問してしまって申し訳ないんですが、
お時間ありましたらご回答よろしくお願いします。

回答No.3

jacorro · ベストアンサー

> 図書館で借りた参考書にも球のとこは半径a
> を用いていたんですが．．．
その参考書を見てないので分かりませんが、次のようなことではないかと思います。
重心は球の中心に一致するためベクトルＧＰは常に斜面の法線方向を向いています。大きさは半径aです。
そこでPの法線成分をPy, Gの法線成分をGyとすれば
dPy/dt = dGy/dt + da/dt
が成り立ちます。

しかし、dPy/dt=dGy/dt=0なのは直感的に明らかなのでこの式に意味があるのか分かりません。
私は、NASONさんが書かれた式のVgｙが何を指しているのか分からなかったので、
先の回答では勝手にVgｙ=dG/dtと考えましたが、私の見当違いかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よく理解できました。
先程の補足で書き忘れてしまいました…
スイマセン！
Vgyは斜面方向をｙ軸、斜面に垂直方向をx軸とする。
そして、ｙ軸の基本ベクトルをyとした時、重心の速度はvgyと表したのだと思います。（図の重心Gの点のところから、斜面に平行に矢印でVgと書いてあります。）

回答No.2

jacorro

(1)に関して
問題設定がよく分からないので、適当に意味を推測します(まったく見当違いの回答かもしれません)。
重心の位置ベクトルをG，接点の位置ベクトルをPとして，重心からの接点の位置をGP=P-Gとすれば，
P = G + GP
dP/dt = dG/dt + dGP/dt
となることから、
Vp=dP/dt, Vgｙ=dG/dt, d/dt(ベクトルＧＰ)=dGP/dt
の事だと考えると、d/dt(ベクトルＧＰ)は重心から接点へのベクトルの時間変化率ですので、私はこれが"接点Pから見た剛体(重心)の相対速度"だと思います。
例えば球の場合は，GPの大きさは半径ですからd/dt(ベクトルＧＰ)=0となって、接点速度と重心速度が一致する事が分かります。

(2)に関して、
重心速度は、私たちが直感的に物体の速度だと思うものを厳密に定義しただけだと思っていいと思います。
剛体は"互いの相対位置が固定された質点の集まり"と定義されていたと思います。そして、その重心の運動は、全質量が重心に集まったと考えて、質点系の力学で解くことができます。つまり、剛体を構成する質点一つ一つの運動を考える事は難しくても、重心の運動は簡単に解けるので、これを通じて剛体自体の運動をある程度予測しようということです。ただし、剛体は回転もしますから、この事も考えて重心位置と回転角を解くことで剛体の運動を決定できます。そして、重心位置と回転角は重心速度と回転速度を時間で積分することで求まります。重心速度と剛体の移動速度が同じかどうかは定義の問題なのでなんとも言えませんが、剛体の運動を知るために重心速度を考えると便利だということです。

補足

ご回答ありがとうございます。
(1)も(2)もほぼ完全に理解できました。
ほんとにありがとうございます。
ただあと一つ分からないのですが、剛体の場合、接点Ｐが移動するからＧＰは大きさでなく、方向も考慮してベクトルＧＰとするわけですよね？
となると、図書館で借りた参考書にも球のとこは半径a
を用いていたんですが、こちらも運動すると、接点ｐが移動しますよね？
となるとなぜこちらはベクトル表記しなくてもよいんですか？？
何度も補足してホントに申し訳ないんですが、よろしければご回答よろしくお願いします。

回答No.1

sak_sak

Pって接点ですか?
ということは剛体の運動とともにPは移動?
それが不明なので(1)はパス

(2)剛体は、全体的に移動してますし、回転もしています。「剛体自体の運動」って移動のことですか? 回転のことですか?

(3)剛体が回転した分だけ落ちているということです。
剛体が回転せずに斜面を下りる情景を思い浮かべてください。あるいは、剛体が移動せずに回転している状態。この2つが「滑る」ということです。
直径1[m]のタイヤ一周にペンキを塗ってπ[m]車を走らせた時に、滑ってないならちょうどタイヤが一周しているということ。

補足

ご回答ありがとうございます。
(1)＞（剛体の運動とともにPは移動？
　　Ｐは接点なんで、回転すれば移動します。）
あれから参考書などでもう一度調べ直したら、『剛体の接するところにおける回転のための速度』記述があったんですが、こっちは、ベクトルＧＰでなく半径aとなっていました。
もし、『剛体の接するところにおける回転のための速度』であってたとすると、回転の速度ってなんですか？
(2)剛体って回転しているんですか！
間違って解釈していました…
とすると、お聞きしたことも間違っていますね！
申し訳ございません！
ただしくは、剛体自体は全体的に移動しているし、回転しているが重心速度とは、剛体の移動速度と＝になるのでしょうか？
(3)とても理解できました。
滑るという言葉がよく理解できていませんでしたので、助かりました。
もしよろしければ(1)、(2)でもう一度回答いただけないでしょうか？
よろしくお願いします。