運動量の問題

質問

図のように燃料を後方に噴射し、その反作用で地上に対して鉛直上向きに前進するロケットの運動を考える。燃料を積んだロケットの質量は単位時間当たりμ[kg/s]の燃料を後方へ噴射することにより、次第に軽くなっていくものとする。ロケットに対して燃料は相対速度-V[m/s](V>0)で噴射される。時刻tにおけるロケットの質量はM[kg]、地上に対する速度はv[m/s]とする。但し、ロケットが受ける空気抵抗は無視できるものとする。

(1)　以下の(ア)～(エ)にあてあまる適当な式を答えよ。
時刻tにおけるロケットの運動量p(t)=Mvと、それより少しだけ後の時刻(t+dt)におけるロケットと噴射された燃料の運動量の和p(t+dt)を比べてみよう。この短い時間dt[s]の間に噴射された質量(ア)[kg]の燃料は地上に対して速度(イ)[m/s]で運動し、そのことによって、ロケットの速度はdv[m/s]だけ変化したと考えられる。つまり時刻(t+dt)におけるロケットと噴射された燃料の全運動量はp(t+dt)=(ウ)とあらわせる。重力が無視できるほど小さいと仮定すれば、時刻tから時刻(t+dt)の間で運動量は保存する。したがってp(t)=p(t+dt)よりMv=(ウ)という関係式が成り立つ。この式の右辺の2次の微小量(dv*dt)を無視して、両辺をdtで割ると、燃料を噴射しながら前進するロケットの運動方程式は(エ)となる。

(2)時刻0におけるロケットの質量をM0[kg]、地上に対する速度をv0[m/s]とおくとき、(1)の(エ)で求めた運動方程式を解いて、時刻tにおける地上に対するロケットの速度v=v(t)を求めよ。

(3)図の鉛直下向きにロケットが受ける重力を無視できない場合について、ロケットの運動方程式を求めよ。但し、重力加速度をg[m/s^2]とする。

(4)(2)と同様に時刻0におけるロケットの質量をM0[kg]、地上に対する速度をv0[m/s]とおくとき、(3)で求めた運動方程式を解いて、時刻tにおける地上に対するロケットの速度v=v(t)を求めよ。

という問題なのですが、
(ア)μdt　　(イ)ｖ－V　　(ウ)(M-μdt)(v+dv)　　(エ)M*dv/dt=μv

(2)M=M0-μtと置いて

これ以降どうしたらいいかわかりません。特に(3)の問題はエネルギー保存を使って解こうとしたのですが、答えが出て来そうにもありません。
長文になってしまいますが、どなたかご教授お願いします。

なぜかエンコードできず、図が上げられません。
絵としては、ロケットから上にv、下に-Vの矢印が引いてあるだけです。よろしくお願いします。

回答No.4

yokkun831 · ベストアンサー

基本的にNo.3さんの方法でよいのですが，
M*dv/dt = μV
ですでに運動方程式になっていますので，これに重力項をいれればOKだと思います。
M*dv/dt = μV-Mg

>dv/dt=Vμ/M-gv

これでは，次元があっていませんね？

お礼

数年前ですが，お礼を忘れていましたので，させていただきたいと思います．
本当にありがとうございました．

回答No.3

hitokotonusi

(3)は運動量の変化分はその間の力積に等しいという関係を使います。

補足

Vμdt-Mdv=gMvdt

⇒dv/dt=Vμ/M-gv
といった感じでしょうか？
もし違っていたらすみませんが答えをお願いしたいです。

回答No.2

yokkun831

>　(エ)M*dv/dt=μv

M*dv/dt = μV

ですね？　

dv = (μV)/(M0-μt)・dt
v(t)-v0 = -V・[ln(M0-μt)]_0^t
∴　v(t) = v0 + V・ln{M0/(M0-μt)}

となります。

ツィオルコフスキーのロケット方程式で検索してみるとよいかもしれません。

補足

ありがとうございます。

(3)以降の問題はどう解いたら言いのでしょうか？
宜しかったらご回答お願いします。重力加速度の項をどのように入れたらいいのか分からないので。

回答No.1

hitokotonusi

＞(ウ)(M-μdt)(v+dv)

これだけだとロケットの運動量しか考えていないので、
吐き出した燃料の運動量も加える必要があります。

補足

(ウ)(M-μdt)(v+dv)+(v-V)μdt
ですね。ありがとうございます。