剛体棒の運動方程式

質問

剛体棒の運動方程式でわからない点があります。

XY平面で長さL、質量M、密度が一様な剛体棒が原点を支点とし振り子運動を行う時、
剛体棒とY軸のなす角度をθとおくと

Iβ＝(-MgL/2)sinθ　　　　　　(Iは慣性モーメント、βは角加速度)

だと思うのですが、
問いで「重心まわりの回転についての運動方程式をたてよ」とあった場合
Igβ=０　　　　　(Igは重心を軸とした時の慣性モーメント）

でよろしいのでしょうか？
重心にはモーメントが働いていないと思ってこのように考えているのですが・・

また「重心の並進運動についての運動方程式をたてよ」とあった場合、

M (d^2X/dt^2)=0
M (d^2Y/dt^2)=-Mg

でよろしいのでしょうか？
慣性モーメントの計算は割愛しましたが、どなたか御教授して頂ければ幸いです。

回答No.5

hitokotonusi

運動方程式を・・・という質問ですが、運動方程式でもいいですが、
運動エネルギーを考えてみるとあっ！という結果になります。

棒の端Oが回転中心とし、棒の真ん中が重心Gだとすると、
書かれているとおり並行軸の定理から

Io = Ig + M(L/2)^2

棒が角速度ωで振り子運動しているとき、運動エネルギーは

K1 = (1/2)Ioω^2

次に、これを重心運動と重心周りの回転に分けます。

重心はOの周りで半径L/2、角速度ωの円運動をしているので、重心運動の運動エネルギー(重心の位置にある質点の運動エネルギーに等価)は

K(重心) = (1/2)M[(L/2)ω]^2 = (1/2) [M(L/2)~2] ω^2

棒は重心まわりに角速度ωで回転しているので回転の運動エネルギーは

K(回転) = (1/2)Igω^2

両方を加えて全運動エネルギーを出してみると

K2 = K(重心)＋K(回転) = (1/2)[Ig+M(L/2)^2]ω^2

最初に見た平行軸の定理から[・・・]はIoに等しいので

K2 = K1

ということで、O周りの回転と考えても重心運動と重心周りの回転と考えても、どちらでも運動エネルギーは同じ結果を与え、その間をつなぐものが平行軸の定理だったということで、Ioの中で平行軸の定理から出てくるM(L/2)^2は重心運動の寄与を表すものだったということになります。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

方針としてはこんなかんじかな。

振子の回転中心が棒の端なら、運動方程式は質問者
様のもので問題ない。支点へのカとは関係なく
回転運動がきまる。

θに対するωをきめてやれば、重心の加速度を計算できる。
これと、重カと支点に加わるによる加速度は一致
するから支点に加わる力が求まる。

ここまでわかれば、後は重心にかんする運動方程式を
書きくだせばおしまい。

回答No.3

rnakamra

質問者にお聞きします。

原点に固定されているのは棒の一端なのか重心なのかどちらなのですか。
それとも棒の適当な1点なのでしょうか。

これがわからないと質問に答えようがありません。
問題文にはこれがわかるように書いていると思うのですが省略されるとこちらにはわかりません。

もし、原点に固定されているのが重心であるのであれば、簡単です。
単に角速度一定で回転するだけです。

多分、棒の一端が原点に固定されているのだと思います。
その場合、固定している点が棒にかける力を考えないといけません。
摩擦がない≠力がかからない
なのです。もし力がかからないのであれば棒はそのまま落下するだけです。

棒を固定する力は一定ではありません。向きすら一定ではないのです。
もし向きが一定でないとすると重心が左右に振るということが説明できません。
重心を左右に振っているのは重力の力ではなく、支点が支える力なのです。

この支点を支える力の大きさをF,この力とY軸となす角をφとでもおいて運動方程式を立てましょう。
もちろん。Fの向きは棒の向きとは違うため、重心周りの力のモーメントを変えます。
Fと棒の向きのなす角はθとφを用いてあらわせます。
それではがんばってください。

回答No.2

Tann3

重心が回転中心であれば（棒の長さの中央位置が原点）、空気の抵抗や回転軸の摩擦がなければ、等角速度で回転し続けます。このときは

　　Igβ=０

でしょう。

　ご質問の中の

　　Iβ＝(-MgL/2)sinθ

の式は、回転中心の位置が棒の上端（棒の上端が原点にある）という条件ですね。

　ご質問の場合、棒のどの位置が回転中心なのか明記されていません。
　回転中心が重心ではない場合も含め、一般の場合の「回転中心に対する重心の回転についての運動方程式をたてよ」ということではありませんか？

　また、後半は、前半の「振り子運動」をしたまま何らかの併進運動をするような状態を考えてのことですか？

　いずれも、ご質問に書かれたことだけでは判断できない前提条件が多いので、どのような運動を考えているのか、必要な条件をきちんと書いてください。

補足

回答ありがとうございます、
条件が不明瞭で申し訳ありません・・

問では原点が回転中心となっており、
そのまま転載させて頂くと

「支点における摩擦をないものとした場合、棒の運動方程式を重心の並進運動と重心まわりの回転運動に関して記述せよ」
というものです。
「重心」と「重心まわり」の記述の違いにピンとこなくて質問させて頂きました。

並進運動に関しては剛体棒が振り子運動をする中で、重心がどのような運動？をするのかを出題しているものだと解釈しています。

平行軸の定理に沿って
Iβ=IgB＋M(L/2)^2β
とすればよいのでしょうか・・

考えれば考える程分からなくなってきてしまいました。
どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

回転中心に加わる力がないですね。
だから回転せずただ落ちる式になってしまっています。